Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}] + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.4

Comme $50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $50$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.5

Comme $- 0.1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (0 - 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (0 - 0.1 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.14

Associez $- 0.1$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.15

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (0 - \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.17

Soustrayez $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$x (- \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.18

Associez $x$ et $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x \cdot 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.19

Déplacez $0.1$ à gauche de $x$ .

$- \frac{0.1 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.20

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{0.1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.21

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.21.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.21.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.21.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.21.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.21.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.21.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{0.1 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.21.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.22

Multipliez $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.23

Pour écrire $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.24

Associez $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.26

Multipliez $2$ par $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.27

Soustrayez $0.2 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 2.28

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (35 x + 500)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [35 x + 500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - \frac{d}{d x} [35 x + 500]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $35 x + 500$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500])$

Étape 3.3

Comme $35$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $35 x$ par rapport à $x$ est $35 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [500])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [500])$

Étape 3.5

Comme $500$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $500$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + 0)$

Étape 3.6

Multipliez $35$ par $1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $35$ et $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 1 \cdot 35$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $35$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 35$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Soustrayez $35$ de $50$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 15$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 - \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Factorisez $0.3$ à partir de $0.3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Étape 4.3.3

Séparez les fractions.

$15 - (\frac{0.3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Étape 4.3.4

Divisez $0.3$ par $2$ .

$15 - (0.15 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Étape 4.3.5

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$15 - (0.15 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.3.6

Multipliez $0.15$ par $- 1$ .

$15 - 0.15 x^{\frac{1}{2}}$