Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{x - x^{8}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - x^{8}}$ comme ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - x^{8}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - x^{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - x^{8}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.3

Placez ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{8}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (8 x^{7})) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 15

Multipliez ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(1 - 8 x^{7}) \frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 16.2

Multipliez $1 - 8 x^{7}$ par $\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 16.3

Pour écrire ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.4

Associez ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.3

Multipliez $x^{7}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.6.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 8 (x \cdot x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.3.2

Multipliez $x$ par $x^{7}$ .

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Étape 16.6.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x - 8 (x^{1} x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x - 8 x^{1 + 7} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.3.3

Additionnez $1$ et $7$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.4

Multipliez ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.6.4.1

Déplacez ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.4.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{1} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.5

Simplifiez ${(x - x^{8})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + (x - x^{8}) \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 8 x^{8} + x \cdot 2 - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.9

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{- 8 x^{8} + 3 x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.10

Soustrayez $2 x^{8}$ de $- 8 x^{8}$ .

$\frac{- 10 x^{8} + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.11

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x^{8} + 3 x$ .

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Étape 16.6.11.1

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x^{8}$ .

$\frac{x (- 10 x^{7}) + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.11.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.6.11.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3$ .

$\frac{x (- 10 x^{7} + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 x^{7}$ .

$\frac{x (- (10 x^{7}) + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.8

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (10 x^{7}) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (10 x^{7}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.10

Réécrivez $- (10 x^{7} - 3)$ comme $- 1 (10 x^{7} - 3)$ .

$\frac{x (- 1 (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (10 x^{7} - 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$