Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Étape 2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 - 4 (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$1 - 4 (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Étape 2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{4} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Étape 2.6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Étape 2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Étape 2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Étape 2.6.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{- 3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Étape 2.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}))$

Étape 2.10.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}))$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}))$

Étape 2.12

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4})$

Étape 2.13

Associez $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ et $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{1}{4}} x^{- \frac{3}{2}}}{4})$

Étape 2.14

Multipliez $x^{- \frac{1}{4}}$ par $x^{- \frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.14.1

Déplacez $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 (x^{- \frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{4}})}{4})$

Étape 2.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Étape 2.14.3

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Étape 2.14.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.14.4.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Étape 2.14.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{1}{4}}}{4})$

Étape 2.14.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{4}}}{4})$

Étape 2.14.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.14.6.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 - 1}{4}}}{4})$

Étape 2.14.6.2

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 7}{4}}}{4})$

Étape 2.14.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{7}{4}}}{4})$

Étape 2.15

Placez $x^{- \frac{7}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}})$

Étape 2.16

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$1 + 4 \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Étape 2.17

Associez $4$ et $\frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Étape 2.18

Multipliez $4$ par $3$ .

$1 + \frac{12}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Étape 2.19

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Étape 2.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.20.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{\frac{7}{4}}$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{\frac{7}{4}})}$

Étape 2.20.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Étape 2.20.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{3}{x^{\frac{7}{4}}}$