Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- \frac{1}{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{1}{x}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x}}] + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{1}{x}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Multipliez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.5.2

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$x (e^{- \frac{1}{x}} x^{- 2}) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{- 2} x^{1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{- 2 + 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \cdot 1$

Étape 9

Multipliez $e^{- \frac{1}{x}}$ par $1$ .

$x^{- 1} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- \frac{1}{x}} x^{- 1} + e^{- \frac{1}{x}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x} + e^{- \frac{1}{x}}$

Étape 10.2.2

Associez $e^{- \frac{1}{x}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x} + e^{- \frac{1}{x}}$