Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x - 3 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $a$ par $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.3.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 1.3.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Étape 1.4.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a - 3 - 3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Étape 2.1.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Étape 2.1.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

Étape 2.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

Étape 2.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

Étape 2.3

Associez des termes.

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Étape 2.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $\frac{3}{x}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x - 3 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $a$ par $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $a - 3 - 3 \ln (x)$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\ln (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $a$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

Étape 5.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 \ln (x) = - a + 3$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \ln (x) = - a + 3$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

Étape 5.3.3.1.2

Divisez $3$ par $- 3$ .

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

Étape 5.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Étape 5.5

Réécrivez $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

Étape 5.6

Réécrivez l’équation comme $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ .

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 6.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

Étape 9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Étape 9.2

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Étape 9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

Étape 9.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11