Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arctan (x^{6})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{6}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{6 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} (6 x^{5})$

Étape 1.2.3

Associez les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Associez $6$ et $\frac{1}{1 + x^{12}}$ .

$\frac{6}{1 + x^{12}} x^{5}$

Étape 1.2.3.2

Associez $\frac{6}{1 + x^{12}}$ et $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{1 + x^{12}}$

Étape 1.2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{12} + 1}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{12} + 1})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot ((x^{12} + 1) x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{12} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} (x^{12}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 12$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + 0)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $12 x^{11}$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{5} x^{11}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4

Multipliez $x^{5}$ par $x^{11}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $x^{11}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 (x^{11} x^{5})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{11 + 5}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4.3

Additionnez $11$ et $5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Étape 2.5

Associez $6$ et $\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 ((5 x^{12} + 5 \cdot 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4} + 5 \cdot (1 x^{4}) - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.4.1.1

Multipliez $x^{12}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{4} x^{12})) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{4 + 12}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.1.3

Additionnez $4$ et $12$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{16}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 x^{4}) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.4

Multipliez $5$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.5

Multipliez $- 12$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} - 72 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.2

Soustrayez $72 x^{16}$ de $30 x^{16}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{16} + 30 x^{4}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 x^{5} = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{5} = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{5} = 0$ par $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$x^{5} = 0$

Étape 5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{0}$

Étape 5.3

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{- 42 {(0)}^{16} + 30 {(0)}^{4}}{{({(0)}^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- 42 \cdot 0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 42$ par $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.4

Multipliez $30$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{1^{2}}$

Étape 7.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1}$

Étape 7.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 8

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 8.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 8.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 8.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{6 {(- 2)}^{5}}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $12$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4096 + 1}$

Étape 8.2.2.2.2

Additionnez $4096$ et $1$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4097}$

Étape 8.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.2.3.1

Multipliez $6$ par $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 192}{4097}$

Étape 8.2.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{192}{4097}$

Étape 8.2.2.4

La réponse finale est $- \frac{192}{4097}$ .

$- \frac{192}{4097}$

Étape 8.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 8.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{6 {(2)}^{5}}{{(2)}^{12} + 1}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{2^{12} + 1}$

Étape 8.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $12$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4096 + 1}$

Étape 8.3.2.2.2

Additionnez $4096$ et $1$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4097}$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $6$ par $32$ .

$f' (2) = \frac{192}{4097}$

Étape 8.3.2.4

La réponse finale est $\frac{192}{4097}$ .

$\frac{192}{4097}$

Étape 8.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 9