Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arctan (x^{5})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

Étape 1.2.3

Associez les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Associez $5$ et $\frac{1}{1 + x^{10}}$ .

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

Étape 1.2.3.2

Associez $\frac{5}{1 + x^{10}}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

Étape 1.2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{10} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $10 x^{9}$ et $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4

Multipliez $x^{4}$ par $x^{9}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $x^{9}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Étape 2.5

Associez $5$ et $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.4.1.1

Multipliez $x^{10}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.1.3

Additionnez $3$ et $10$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.1.5

Multipliez $- 10$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.4.2

Soustrayez $50 x^{13}$ de $20 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.5

Factorisez $10 x^{3}$ à partir de $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ .

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $10 x^{3}$ à partir de $- 30 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.5.2

Factorisez $10 x^{3}$ à partir de $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.5.3

Factorisez $10 x^{3}$ à partir de $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{10}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.7

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.9

Réécrivez $- (3 x^{10} - 2)$ comme $- 1 (3 x^{10} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 x^{4} = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{4} = 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{4} = 0$ par $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x^{4} = 0$

Étape 5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 5.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

Étape 7.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 20$ par $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Étape 7.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

$- 0$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 8

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 8.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 8.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 8.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $10$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Étape 8.2.2.2.2

Additionnez $1024$ et $1$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Étape 8.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.3.1

Multipliez $5$ par $16$ .

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

Étape 8.2.2.3.2

Annulez le facteur commun à $80$ et $1025$ .

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Étape 8.2.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $80$ .

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Étape 8.2.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $1025$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Étape 8.2.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Étape 8.2.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

Étape 8.2.2.4

La réponse finale est $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Étape 8.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 8.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

Étape 8.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $10$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Étape 8.3.2.2.2

Additionnez $1024$ et $1$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Étape 8.3.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.3.1

Multipliez $5$ par $16$ .

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

Étape 8.3.2.3.2

Annulez le facteur commun à $80$ et $1025$ .

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Étape 8.3.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $80$ .

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Étape 8.3.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $1025$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Étape 8.3.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Étape 8.3.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

Étape 8.3.2.4

La réponse finale est $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Étape 8.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 8.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = \arctan (x^{5})$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 9