Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arcsin (x) - 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arcsin (x) - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arcsin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.9

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.16

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.17

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.18

Associez $- 2$ et $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.19

Associez $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.20

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.21

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.22

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.22.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.22.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.22.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.24

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.25

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ par $1$ .

$f'' (x) = {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.26

Associez ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ et $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- 1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.27

Placez ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.28

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 - x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.28.1

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 - x^{2}$ .

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Étape 2.2.28.1.1

Élevez $1 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.28.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.28.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.28.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.28.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 = 0$

Étape 4

Résolvez $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$

Étape 4.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$\sqrt{1 - x^{2}}, 1$

Étape 4.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 4.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ par $\sqrt{1 - x^{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ par $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 4.4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ .

$2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$

Étape 4.4.2

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.4.2.2.1.2

Divisez $\sqrt{1 - x^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez

$1 - x^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$1 - x^{2} = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - x^{2} = \frac{1}{2^{2}}$

Étape 6.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 - x^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1$

Étape 7.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Étape 7.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x^{2} = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Étape 7.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- x^{2} = \frac{1 - 4}{4}$

Étape 7.1.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Étape 7.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x^{2} = - \frac{3}{4}$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Étape 7.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{4}$

Étape 7.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 7.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 7.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.4

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Étape 9.3.7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Étape 9.3.7.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{3}}}$

Étape 9.3.7.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\frac{1}{8})}$

Étape 9.4

Simplifiez les termes.

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Étape 9.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{8}}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 (1)}{8}}$

Étape 9.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Étape 9.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Étape 9.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{4}}$

Étape 9.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{3} \cdot 4$

Étape 9.6

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3}$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 11.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 11.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 11.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Étape 11.2.1.3

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $\frac{π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.4

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 13.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 13.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 13.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Étape 13.2.7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Étape 13.2.7.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{3}}}$

Étape 13.2.7.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Étape 13.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} (1 \cdot 8)$

Étape 13.3.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Étape 13.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Étape 13.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 (4))$

Étape 13.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 13.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} \cdot 4$

Étape 13.3.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Étape 14

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 15.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \arcsin (x) - 2 x$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{π}{3} - \sqrt{3})$ est un minimum local

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{π}{3} + \sqrt{3})$ est un maximum local

Étape 17