Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln ({(3 x)}^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{2})]$

Étape 1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{2} x^{2})]$

Étape 1.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (9 x^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 9 x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $9$ et $\frac{1}{9 x^{2}}$ .

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Étape 1.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Étape 1.3.4.2

Associez $\frac{2}{x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Étape 1.3.4.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.3.4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Étape 1.3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 1.3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 1.3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- 2})$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2}{x} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6