Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 \sin (3 x) + 8 \cos (3 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 \sin (3 x) + 8 \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \sin (3 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$8 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$8 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$8 (\cos (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$8 (3 \cdot \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.7

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \cos (3 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$24 \cos (3 x) + 8 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Étape 1.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$24 \cos (3 x) + 8 (- 3 \sin (3 x))$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$24 \cos (3 x) - 24 \sin (3 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 \cos (3 x) - 24 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 24 \sin (3 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 \cos (3 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\cos (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$f'' (x) = 24 (\frac{d}{d u (1)} (\cos (u_{1})) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 24 (- \sin (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 24 (- 3 \sin (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 3$ par $24$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \sin (3 x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 \sin (3 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 \frac{d}{d x} \sin (3 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} (3 x))$

Étape 2.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (3 x) (3 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (\cos (3 x) \cdot 3)$

Étape 2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 24 (3 \cdot \cos (3 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $3$ par $- 24$ .

$f'' (x) = - 72 \sin (3 x) - 72 \cos (3 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$24 \cos (3 x) - 24 \sin (3 x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (3 x)$ .

$\frac{24 \cos (3 x)}{\cos (3 x)} + \frac{- 24 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (3 x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 \cos (3 x)}{\cos (3 x)} + \frac{- 24 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Étape 5.2

Divisez $24$ par $1$ .

$24 + \frac{- 24 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$24 + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à $\tan (3 x)$ .

$24 + \frac{- 24}{1} \cdot \tan (3 x) = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Étape 8

Divisez $- 24$ par $1$ .

$24 - 24 \tan (3 x) = \frac{0}{\cos (3 x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$24 - 24 \tan (3 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ à $\sec (3 x)$ .

$24 - 24 \tan (3 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (3 x)$

Étape 11

Divisez $0$ par $1$ .

$24 - 24 \tan (3 x) = 0 \sec (3 x)$

Étape 12

Multipliez $0$ par $\sec (3 x)$ .

$24 - 24 \tan (3 x) = 0$

Étape 13

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$- 24 \tan (3 x) = - 24$

Étape 14

Divisez chaque terme dans $- 24 \tan (3 x) = - 24$ par $- 24$ et simplifiez.

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Étape 14.1

Divisez chaque terme dans $- 24 \tan (3 x) = - 24$ par $- 24$ .

$\frac{- 24 \tan (3 x)}{- 24} = \frac{- 24}{- 24}$

Étape 14.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun de $- 24$ .

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Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 24 \tan (3 x)}{- 24} = \frac{- 24}{- 24}$

Étape 14.2.1.2

Divisez $\tan (3 x)$ par $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{- 24}{- 24}$

Étape 14.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.3.1

Divisez $- 24$ par $- 24$ .

$\tan (3 x) = 1$

Étape 15

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$3 x = \arctan (1)$

Étape 16

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Étape 17

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 17.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 17.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 17.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 17.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 17.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 17.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 17.3.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 17.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Étape 17.3.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 18

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Étape 19

Résolvez $x$ .

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Étape 19.1

Simplifiez

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Étape 19.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 19.1.2

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 19.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 19.1.4

Additionnez $π \cdot 4$ et $π$ .

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Étape 19.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 19.1.4.2

Additionnez $4 \cdot π$ et $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Étape 19.2

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 19.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Étape 19.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 19.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 19.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Étape 19.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Étape 19.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 19.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 19.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 19.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Étape 19.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 20

La solution de l’équation est $3 x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{12}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 72 \sin (3 (\frac{π}{12})) - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 22.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 22.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$- 72 \sin (3 \frac{π}{3 (4)}) - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 22.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 72 \sin (3 \frac{π}{3 \cdot 4}) - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 22.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 72 \sin (\frac{π}{4}) - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 22.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 72 \frac{\sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 22.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 72$ .

$2 (- 36) \frac{\sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 22.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 36 \frac{\sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 22.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 22.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 22.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$- 36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 \frac{π}{3 (4)})$

Étape 22.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 \frac{π}{3 \cdot 4})$

Étape 22.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 36 \sqrt{2} - 72 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 22.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \sqrt{2} - 72 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 22.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 72$ .

$- 36 \sqrt{2} + 2 (- 36) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 22.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 36 \sqrt{2} + 2 \cdot - 36 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 22.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 36 \sqrt{2} - 36 \sqrt{2}$

Étape 22.2

Soustrayez $36 \sqrt{2}$ de $- 36 \sqrt{2}$ .

$- 72 \sqrt{2}$

Étape 23

$x = \frac{π}{12}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{12}$ est un maximum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{12}$ .

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Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{π}{12})) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 24.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 24.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{π}{3 (4)})) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 24.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 4})) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 24.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sin (\frac{π}{4}) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 24.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 24.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 24.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{π}{12}) = 2 (4) (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 24.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{2}}{2})) + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 24.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{π}{12}))$

Étape 24.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{π}{3 (4)}))$

Étape 24.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 4}))$

Étape 24.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 24.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 8 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 24.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 24.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 2 (4) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 24.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{2}}{2}))$

Étape 24.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Étape 24.2.2

Additionnez $4 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 8 \sqrt{2}$

Étape 24.2.3

La réponse finale est $8 \sqrt{2}$ .

$y = 8 \sqrt{2}$

Étape 25

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{12}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 72 \sin (3 (\frac{5 π}{12})) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 26.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 26.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$- 72 \sin (3 \frac{5 π}{3 (4)}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 72 \sin (3 \frac{5 π}{3 \cdot 4}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 72 \sin (\frac{5 π}{4}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- 72 (- \sin (\frac{π}{4})) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 72 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 26.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- 72 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 72$ .

$2 (- 36) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$- 36 (- \sqrt{2}) - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 36$ .

$36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 26.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 26.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 \frac{5 π}{3 (4)})$

Étape 26.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$36 \sqrt{2} - 72 \cos (3 \frac{5 π}{3 \cdot 4})$

Étape 26.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$36 \sqrt{2} - 72 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.1.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$36 \sqrt{2} - 72 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 26.1.8

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$36 \sqrt{2} - 72 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 26.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$36 \sqrt{2} - 72 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 26.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $- 72$ .

$36 \sqrt{2} + 2 (- 36) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 26.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$36 \sqrt{2} + 2 \cdot - 36 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 26.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$36 \sqrt{2} - 36 (- \sqrt{2})$

Étape 26.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 36$ .

$36 \sqrt{2} + 36 \sqrt{2}$

Étape 26.2

Additionnez $36 \sqrt{2}$ et $36 \sqrt{2}$ .

$72 \sqrt{2}$

Étape 27

$x = \frac{5 π}{12}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{12}$ est un minimum local

Étape 28

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{12}$ .

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Étape 28.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{5 π}{12})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 28.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (4)})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 4})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 \sin (\frac{5 π}{4}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.2

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 (- \sin (\frac{π}{4})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{5 π}{12}) = 8 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 (4) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 \cdot (4 (\frac{- \sqrt{2}}{2})) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = 4 (- \sqrt{2}) + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 28.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{3 (4)}))$

Étape 28.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \cos (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 4}))$

Étape 28.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 28.2.1.7

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 28.2.1.8

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 28.2.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.2.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 8 (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Étape 28.2.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 2 (4) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Étape 28.2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 2 \cdot (4 (\frac{- \sqrt{2}}{2}))$

Étape 28.2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{2})$

Étape 28.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Étape 28.2.2

Soustrayez $4 \sqrt{2}$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 8 \sqrt{2}$

Étape 28.2.3

La réponse finale est $- 8 \sqrt{2}$ .

$y = - 8 \sqrt{2}$

Étape 29

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 8 \sin (3 x) + 8 \cos (3 x)$ .

$(\frac{π}{12}, 8 \sqrt{2})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{12}, - 8 \sqrt{2})$ est un minimum local

Étape 30