Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 1.1.1

Élevez $10$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{\frac{7}{5}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $5$ de $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2.7

Associez $\frac{7}{5}$ et $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2.8

Associez $9$ et $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.2.9

Multipliez $7$ par $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 1.4

Comme $10000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ et $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{63}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{63}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})$

Étape 2.3.6.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})$

Étape 2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Étape 2.3.9

Multipliez $\frac{63}{5}$ par $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5 \cdot 5}$

Étape 2.3.10

Multipliez $2$ par $63$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{5 \cdot 5}$

Étape 2.3.11

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{25}$

Étape 2.3.12

Placez $x^{- \frac{3}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126}{25 x^{\frac{3}{5}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 4.1.1.1

Élevez $10$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Étape 4.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{\frac{7}{5}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $5$ de $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2.7

Associez $\frac{7}{5}$ et $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2.8

Associez $9$ et $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $7$ par $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Étape 4.1.4

Comme $10000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Additionnez $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ et $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Étape 4.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Étape 5.2

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{2}{5}}$ présent dans chaque terme.

$- 10 {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Étape 5.3

Remplacez $x^{\frac{2}{5}}$ par $u$ .

$- 10 {(u)}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 (u)}{5} = 0$

Étape 5.4

Résolvez $u$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $u$ à partir de $- 10 u^{\frac{5}{2}} + \frac{63 u}{5}$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $u$ à partir de $- 10 u^{\frac{5}{2}}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + \frac{63 u}{5} = 0$

Étape 5.4.1.2

Factorisez $u$ à partir de $\frac{63 u}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u (\frac{63}{5}) = 0$

Étape 5.4.1.3

Factorisez $u$ à partir de $u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u \frac{63}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$

Étape 5.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Étape 5.4.3

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 5.4.4

Définissez $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.4.4.1

Définissez $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ égal à $0$ .

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Étape 5.4.4.2

Résolvez $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.4.4.2.1

Soustrayez $\frac{63}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$- 10 u^{\frac{3}{2}} = - \frac{63}{5}$

Étape 5.4.4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.4.4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.4.2.3.1.1

Simplifiez ${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.4.4.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 10 u^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} {(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.4.4.2.3.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.4.2.3.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3.1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.4.2.3.1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3.1.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{1} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3.1.1.3

Simplifiez

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3.1.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans ${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.4.2.3.2.1

Simplifiez ${(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.4.4.2.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.4.4.2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.4.2.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.4.2.3.2.1.2.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.3.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.4.2.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{2} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.3.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.4.2.3.2.1.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = 1 \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.3.2.1.4.2

Multipliez $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.4

Divisez chaque terme dans $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ par ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.1

Divisez chaque terme dans $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ par ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.4.2.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.4.3.2

Associez.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}} \cdot 1}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.4.2.4.3.3

Multipliez $63^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$ vraie.

$u = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.6

Résolvez $x^{\frac{2}{5}} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.6.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.6.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.6.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.6.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.2.1

Simplifiez $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.6.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 5.6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 5.6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 0^{5}$

Étape 5.6.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = \pm 0$

Étape 5.6.2.2.1.4

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.7

Résolvez $x^{\frac{2}{5}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ pour $x$ .

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Étape 5.7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.7.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.7.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.7.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.7.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.7.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.2.2.1

Simplifiez $\pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.7.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.7.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{63^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.7.2.2.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.7.2.2.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.2.2.1.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 5} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.7.2.2.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.2.2.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Étape 5.7.2.2.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 5}}$

Étape 5.7.2.2.1.3.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.7.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.7.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.9

Excluez les solutions qui ne rendent pas $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ vrai.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 10 + \frac{126}{25 {(0)}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{3}}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0}$

Étape 9.3.2

Multipliez $25$ par $0$ .

$- 10 + \frac{126}{0}$

Étape 9.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 10 + \frac{126}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}) \cup (- \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 10 \cdot - 2 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $- 10$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Étape 10.2.2.2

La réponse finale est $20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Étape 10.3

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11