Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + 8 \cos (8 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \cos (8 x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$8 + 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Étape 1.3.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \cdot 8)$

Étape 1.3.6

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$8 + 8 (- 8 \sin (8 x))$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$8 - 64 \sin (8 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - 64 \sin (8 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Étape 2.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 \sin (8 x)$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 \frac{d}{d x} \sin (8 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (8 x))$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (u) \frac{d}{d x} (8 x))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \frac{d}{d x} (8 x))$

Étape 2.2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Étape 2.2.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \cdot 8)$

Étape 2.2.6

Déplacez $8$ à gauche de $\cos (8 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (8 \cdot \cos (8 x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $8$ par $- 64$ .

$f'' (x) = 0 - 512 \cos (8 x)$

Étape 2.3

Soustrayez $512 \cos (8 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 512 \cos (8 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$8 - 64 \sin (8 x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 64 \sin (8 x) = - 8$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 64 \sin (8 x) = - 8$ par $- 64$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 64 \sin (8 x) = - 8$ par $- 64$ .

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 64$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (8 x)$ par $1$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8}{- 64}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $- 64$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 (1)}{- 64}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 64$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (8 x) = \frac{1}{8}$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$8 x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$8 x = 0.12532783$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $8 x = 0.12532783$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 0.12532783$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0.12532783}{8}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $0.12532783$ par $8$ .

$x = 0.01566597$

Étape 9

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$8 x = (3.14159265) - 0.12532783$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Soustrayez $0.12532783$ de $3.14159265$ .

$8 x = 3.01626482$

Étape 10.2

Divisez chaque terme dans $8 x = 3.01626482$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 3.01626482$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Étape 10.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3.01626482}{8}$

Étape 10.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.1

Divisez $3.01626482$ par $8$ .

$x = 0.3770331$

Étape 11

La solution de l’équation est $8 x = 0.12532783$ .

$x = 0.01566597, 0.3770331$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.01566597$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 512 \cos (8 (0.01566597))$

Étape 13

Multipliez $8$ par $0.01566597$ .

$- 512 \cos (0.12532783)$

Étape 14

$x = 0.01566597$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.01566597$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 0.01566597$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $0.01566597$ dans l’expression.

$f (0.01566597) = 8 (0.01566597) + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $8$ par $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $8$ par $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (0.12532783)$

Étape 15.2.2

Additionnez $0.12532783$ et $8 \cos (0.12532783)$ .

$f (0.01566597) = 8.06258176$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $8.06258176$ .

$y = 8.06258176$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.3770331$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 512 \cos (8 (0.3770331))$

Étape 17

Multipliez $8$ par $0.3770331$ .

$- 512 \cos (3.01626482)$

Étape 18

$x = 0.3770331$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.3770331$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 0.3770331$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $0.3770331$ dans l’expression.

$f (0.3770331) = 8 (0.3770331) + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Multipliez $8$ par $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $8$ par $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (3.01626482)$

Étape 19.2.2

Additionnez $3.01626482$ et $8 \cos (3.01626482)$ .

$f (0.3770331) = - 4.92098911$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- 4.92098911$ .

$y = - 4.92098911$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$ .

$(0.01566597, 8.06258176)$ est un maximum local

$(0.3770331, - 4.92098911)$ est un minimum local

Étape 21