Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{9 - x^{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 - x^{3}}$ comme ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 - x^{3}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 - x^{3}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - x^{3}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.3

Placez ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- (3 x^{2})) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.14.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- 3 x^{2}) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14.2

Associez $- 3$ et $\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14.3

Associez $\frac{- 3 x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.15

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.15.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- 3 (x^{2} x)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.15.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.15.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 (x^{2} x^{1})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{2 + 1}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.15.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- 3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.18

Multipliez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.19

Pour écrire ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20

Associez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22

Multipliez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.22.1

Déplacez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.23

Simplifiez ${(9 - x^{3})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + (9 - x^{3}) \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.24

Déplacez $2$ à gauche de $9 - x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 2 \cdot (9 - x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25

Simplifiez

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Étape 1.25.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{3} + 2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.25.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.25.2.1.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 18 + 2 (- x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 18 - 2 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{- (5 x^{3}) + 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.4

Réécrivez $18$ comme $- 1 (- 18)$ .

$\frac{- (5 x^{3}) - 1 (- 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{3}) - 1 (- 18)$ .

$\frac{- (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.6

Réécrivez $- (5 x^{3} - 18)$ comme $- 1 (5 x^{3} - 18)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3} - 18}{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{5 x^{3} - 18}{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x^{3} - 18$ et $g (x) = {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.4

Simplifiez

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 x^{3} - 18) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{3} - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18)) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.5.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18)) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18)) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18)) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.5.5

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (15 x^{2} + 0) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Additionnez $15 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (15 x^{2}) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.5.6.2

Déplacez $15$ à gauche de ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 \cdot ({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) - (5 x^{3} - 18) \frac{d}{d x} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 - x^{3}$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.11

Associez les fractions.

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Étape 2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{{(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.11.3

Placez ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{3})))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.13

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3})))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3}))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.16

Multipliez.

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Étape 2.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + 1 (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3})))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.16.2

Multipliez $5 x^{3} - 18$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3})))}{9 - x^{3}}$

Étape 2.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot (3 x^{2})}{9 - x^{3}}$

Étape 2.18

Associez les fractions.

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Étape 2.18.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x^{2}}{9 - x^{3}}$

Étape 2.18.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{x^{2} \cdot 3}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{9 - x^{3}}$

Étape 2.18.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3 \cdot x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{9 - x^{3}}$

Étape 2.18.4

Multipliez $\frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) \frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{3}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{(9 - x^{3}) \cdot 2}$

Étape 2.18.5

Déplacez $2$ à gauche de $9 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (9 - x^{3})}$

Étape 2.19

Simplifiez

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Étape 2.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + (5 x^{3} - 18) (\frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.19.2.1

Multipliez $5 x^{3} - 18$ par $\frac{3 x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{(5 x^{3} - 18) (3 x^{2})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $5 x^{3} - 18$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{3 \cdot ((5 x^{3} - 18) x^{2})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.3

Pour écrire $15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} \cdot \frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.4

Associez $15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ et $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6

Réécrivez $\frac{15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.19.2.6.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 (5 x^{3} - 18) x^{2}$ .

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Étape 2.19.2.6.1.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $15 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (5 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})) + 3 (5 x^{3} - 18) x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6.1.2

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 (5 x^{3} - 18) x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (5 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})) + 3 x^{2} (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6.1.3

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (5 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})) + 3 x^{2} (5 x^{3} - 18)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (5 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6.2

Associez les exposants.

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Étape 2.19.2.6.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6.2.2

Multipliez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.19.2.6.2.2.1

Déplacez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 ({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 {(9 - x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 {(9 - x^{3})}^{\frac{2}{2}} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6.2.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 (9 - x^{3}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.6.2.3

Simplifiez $10 {(9 - x^{3})}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 (9 - x^{3}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.19.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (10 \cdot 9 + 10 (- x^{3}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.7.2

Multipliez $10$ par $9$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (90 + 10 (- x^{3}) + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.7.3

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (90 - 10 x^{3} + 5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.7.4

Soustrayez $18$ de $90$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (- 10 x^{3} + 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.2.7.5

Additionnez $- 10 x^{3}$ et $5 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.3

Associez des termes.

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Étape 2.19.3.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{18 + 2 (- x^{3})}$

Étape 2.19.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x^{3}}$

Étape 2.19.3.3

Réécrivez $\frac{\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x^{3}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 - 2 x^{3}})$

Étape 2.19.3.4

Multipliez $\frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{18 - 2 x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (18 - 2 x^{3})}$

Étape 2.19.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.19.4.1

Factorisez $2$ à partir de $18 - 2 x^{3}$ .

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Étape 2.19.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 (9) - 2 x^{3})}$

Étape 2.19.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 (9) + 2 (- x^{3}))}$

Étape 2.19.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (9) + 2 (- x^{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 (9 - x^{3}))}$

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (9 - x^{3}))}$

Étape 2.19.4.2

Associez les exposants.

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Étape 2.19.4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{3})}$

Étape 2.19.4.2.2

Élevez $9 - x^{3}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 ((9 - x^{3}) {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.19.4.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.19.4.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.19.4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 2.19.4.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 5 x^{3} + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- (5 x^{3}) + 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19.6

Réécrivez $72$ comme $- 1 (- 72)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- (5 x^{3}) - 1 \cdot - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{3}) - 1 (- 72)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- (5 x^{3} - 72))}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19.8

Réécrivez $- (5 x^{3} - 72)$ comme $- 1 (5 x^{3} - 72)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{2} (- 1 (5 x^{3} - 72))}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2.19.11

Multipliez $\frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(3 x^{2}) (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} (5 x^{3} - 72)}{4 {(9 - x^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 - x^{3}}$ comme ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 - x^{3}$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 - x^{3}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - x^{3}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.3

Placez ${(9 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{3}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}] + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- (3 x^{2})) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.14

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.14.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- 3 x^{2}) + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.14.2

Associez $- 3$ et $\frac{x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.14.3

Associez $\frac{- 3 x}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot x^{2}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.15

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- 3 (x^{2} x)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.15.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 (x^{2} x^{1})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{2 + 1}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.15.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- 3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.18

Multipliez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.19

Pour écrire ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.20

Associez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22

Multipliez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.22.1

Déplacez ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + {(9 - x^{3})}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.23

Simplifiez ${(9 - x^{3})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + (9 - x^{3}) \cdot 2}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.24

Déplacez $2$ à gauche de $9 - x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 2 \cdot (9 - x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.25.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{3} + 2 \cdot 9 + 2 (- x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.25.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.25.2.1.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 18 + 2 (- x^{3})}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 18 - 2 x^{3}}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{- (5 x^{3}) + 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.4

Réécrivez $18$ comme $- 1 (- 18)$ .

$\frac{- (5 x^{3}) - 1 (- 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{3}) - 1 (- 18)$ .

$\frac{- (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.6

Réécrivez $- (5 x^{3} - 18)$ comme $- 1 (5 x^{3} - 18)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{3} - 18)}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 x^{3} - 18 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{3} = 18$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $5 x^{3} = 18$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{3} = 18$ par $5$ .

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{18}{5}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{18}{5}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{18}{5}$

Étape 5.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{\frac{18}{5}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{18}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{18}{5}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 5.3.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 5.3.4.3.2

Élevez $\sqrt[3]{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Étape 5.3.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Étape 5.3.4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Étape 5.3.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5}$ comme $5^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.3.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.3.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.3.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.3.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Étape 5.3.4.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Étape 5.3.4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Étape 5.3.4.4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18} \sqrt[3]{25}}{5}$

Étape 5.3.4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{\sqrt[3]{18 \cdot 25}}{5}$

Étape 5.3.4.5.2

Multipliez $18$ par $25$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 \sqrt{{(9 - x^{3})}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{5 x^{3} - 18}{2 \sqrt{9 - x^{3}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x^{3} - 18}{2 \sqrt{9 - x^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{9 - x^{3}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{9 - x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 - x^{3}}$ comme ${(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(9 - x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(9 - x^{3})}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (9 - x^{3}) = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 9 + 4 (- x^{3}) = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.6

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.6.1

Multipliez $4$ par $9$ .

$36 + 4 (- x^{3}) = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$36 - 4 x^{3} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$36 - 4 x^{3} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{3} = - 36$

Étape 6.3.3.2

Ajoutez $36$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{3} + 36 = 0$

Étape 6.3.3.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x^{3} + 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.3.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 36 = 0$

Étape 6.3.3.3.2

Factorisez $- 4$ à partir de $36$ .

$- 4 x^{3} - 4 \cdot - 9 = 0$

Étape 6.3.3.3.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (x^{3}) - 4 (- 9)$ .

$- 4 (x^{3} - 9) = 0$

Étape 6.3.3.4

Divisez chaque terme dans $- 4 (x^{3} - 9) = 0$ par $- 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $- 4 (x^{3} - 9) = 0$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 (x^{3} - 9)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 6.3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 (x^{3} - 9)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 6.3.3.4.2.1.2

Divisez $x^{3} - 9$ par $1$ .

$x^{3} - 9 = \frac{0}{- 4}$

Étape 6.3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.3.1

Divisez $0$ par $- 4$ .

$x^{3} - 9 = 0$

Étape 6.3.3.5

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 9$

Étape 6.3.3.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{9}$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{9 - x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$9 - x^{3} < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{3} < - 9$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{3} < - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{3} < - 9$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{3}}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{3}}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} > \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x^{3} > 9$

Étape 6.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} > \sqrt[3]{9}$

Étape 6.5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x > \sqrt[3]{9}$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \geq \sqrt[3]{9}$

$[\sqrt[3]{9}, \infty)$

$x \geq \sqrt[3]{9}$

$[\sqrt[3]{9}, \infty)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}, \sqrt[3]{9}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{2} (5 {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

$\frac{3 \frac{{\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Associez $3$ et $\frac{{\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{{\sqrt[3]{450}}^{3}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{450}}^{3}$ comme $450$ .

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Étape 9.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{450}$ comme $450^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{{(450^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450^{1}}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450}{5^{3}} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.5

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 (\frac{450}{125}) - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450}{5 (25)} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (5 \frac{450}{5 \cdot 25} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (\frac{450}{25} - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.7

Divisez $450$ par $25$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} (18 - 72)}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.8

Soustrayez $72$ de $18$ .

$\frac{\frac{3 {\sqrt[3]{450}}^{2}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.9.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{450}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{450^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt[3]{450^{2}}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.9.2

Élevez $450$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt[3]{202500}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.9.3

Réécrivez $202500$ comme $15^{3} \cdot 60$ .

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Étape 9.1.9.3.1

Factorisez $3375$ à partir de $202500$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt[3]{3375 (60)}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.9.3.2

Réécrivez $3375$ comme $15^{3}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt[3]{15^{3} \cdot 60}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.9.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\frac{3 \cdot 15 \sqrt[3]{60}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.9.5

Multipliez $3$ par $15$ .

$\frac{\frac{45 \sqrt[3]{60}}{5^{2}} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{45 \sqrt[3]{60}}{25} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.11

Annulez le facteur commun à $45$ et $25$ .

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Étape 9.1.11.1

Factorisez $5$ à partir de $45 \sqrt[3]{60}$ .

$\frac{\frac{5 (9 \sqrt[3]{60})}{25} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.11.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{\frac{5 (9 \sqrt[3]{60})}{5 (5)} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{5 (9 \sqrt[3]{60})}{5 \cdot 5} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{{\sqrt[3]{450}}^{3}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{450}}^{3}$ comme $450$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{450}$ comme $450^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{{(450^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450^{1}}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450}{5^{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{450}{125})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4

Annulez le facteur commun à $450$ et $125$ .

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Étape 9.2.1.4.1

Factorisez $25$ à partir de $450$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{25 (18)}{125})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1.4.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{25 \cdot 18}{25 \cdot 5})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{25 \cdot 18}{25 \cdot 5})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 - \frac{18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(9 \cdot \frac{5}{5} - \frac{18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.3

Associez $9$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(\frac{9 \cdot 5}{5} - \frac{18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(\frac{9 \cdot 5 - 18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.5.1

Multipliez $9$ par $5$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(\frac{45 - 18}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.5.2

Soustrayez $18$ de $45$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 {(\frac{27}{5})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{27}{5}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot - 54}{4 \frac{27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3

Associez les fractions.

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Étape 9.3.1

Associez $\frac{9 \sqrt[3]{60}}{5}$ et $- 54$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60} \cdot - 54}{5}}{4 \frac{27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3.2

Associez $4$ et $\frac{27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{9 \sqrt[3]{60} \cdot - 54}{5}}{\frac{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $- 54$ par $9$ .

$\frac{\frac{- 486 \sqrt[3]{60}}{5}}{\frac{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{486 \sqrt[3]{60}}{5}}{\frac{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{486 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{486 \sqrt[3]{60}}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{- 486 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 486 \sqrt[3]{60}$ .

$\frac{2 (- 243 \sqrt[3]{60})}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.5.3

Factorisez $2$ à partir de $4 \cdot 27^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- 243 \sqrt[3]{60})}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 27^{\frac{3}{2}})}$

Étape 9.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 243 \sqrt[3]{60})}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 27^{\frac{3}{2}})}$

Étape 9.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 243 \sqrt[3]{60}}{5} \cdot \frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.6

Multipliez $\frac{- 243 \sqrt[3]{60}}{5}$ par $\frac{5^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 243 \sqrt[3]{60} \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{5 (2 \cdot 27^{\frac{3}{2}})}$

Étape 9.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.7.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{- 243 \sqrt[3]{60} \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{10 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{243 \sqrt[3]{60} \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{10 \cdot 27^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) \sqrt{9 - {(\frac{\sqrt[3]{450}}{5})}^{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{{\sqrt[3]{450}}^{3}}{5^{3}}}$

Étape 11.2.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{450}}^{3}$ comme $450$ .

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Étape 11.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{450}$ comme $450^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{{(450^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}}$

Étape 11.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}}$

Étape 11.2.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}}$

Étape 11.2.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}}$

Étape 11.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450}{5^{3}}}$

Étape 11.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450}{5^{3}}}$

Étape 11.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{450}{125}}$

Étape 11.2.4

Annulez le facteur commun à $450$ et $125$ .

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Étape 11.2.4.1

Factorisez $25$ à partir de $450$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{25 (18)}{125}}$

Étape 11.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{25 \cdot 18}{25 \cdot 5}}$

Étape 11.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{25 \cdot 18}{25 \cdot 5}}$

Étape 11.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 - \frac{18}{5}}$

Étape 11.2.5

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{9 \cdot \frac{5}{5} - \frac{18}{5}}$

Étape 11.2.6

Associez $9$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 5}{5} - \frac{18}{5}}$

Étape 11.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 5 - 18}{5}}$

Étape 11.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.8.1

Multipliez $9$ par $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{\frac{45 - 18}{5}}$

Étape 11.2.8.2

Soustrayez $18$ de $45$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \sqrt{\frac{27}{5}}$

Étape 11.2.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{27}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{5}}$

Étape 11.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.10.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 11.2.10.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{5}}$

Étape 11.2.10.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Étape 11.2.10.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Étape 11.2.11

Multipliez $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot (\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 11.2.12

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.12.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 11.2.12.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 11.2.12.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 11.2.12.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 11.2.12.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 11.2.12.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 11.2.12.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.2.12.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.2.12.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.12.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.12.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.12.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Étape 11.2.12.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Étape 11.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.13.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Étape 11.2.13.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5}$

Étape 11.2.14

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{450}}{5} \cdot \frac{3 \sqrt{15}}{5}$ .

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Étape 11.2.14.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{450}}{5}$ par $\frac{3 \sqrt{15}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{\sqrt[3]{450} (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.2

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 11.2.14.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{450}$ comme $450^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (450^{\frac{1}{3}} \sqrt{15})}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.2.2

Réécrivez $450^{\frac{1}{3}}$ comme $450^{\frac{2}{6}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (450^{\frac{2}{6}} \sqrt{15})}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.2.3

Réécrivez $450^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{450^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (\sqrt[6]{450^{2}} \sqrt{15})}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.2.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (\sqrt[6]{450^{2}} \cdot 15^{\frac{1}{2}})}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.2.5

Réécrivez $15^{\frac{1}{2}}$ comme $15^{\frac{3}{6}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (\sqrt[6]{450^{2}} \cdot 15^{\frac{3}{6}})}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.2.6

Réécrivez $15^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{15^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 (\sqrt[6]{450^{2}} \sqrt[6]{15^{3}})}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{450^{2} \cdot 15^{3}}}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.4

Élevez $450$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{202500 \cdot 15^{3}}}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.5

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{202500 \cdot 3375}}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.6

Multipliez $202500$ par $3375$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{683437500}}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.14.7

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{683437500}}{25}$

Étape 11.2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.15.1

Réécrivez $683437500$ comme $15^{6} \cdot 60$ .

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Étape 11.2.15.1.1

Factorisez $11390625$ à partir de $683437500$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{11390625 (60)}}{25}$

Étape 11.2.15.1.2

Réécrivez $11390625$ comme $15^{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \sqrt[6]{15^{6} \cdot 60}}{25}$

Étape 11.2.15.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{3 \cdot (15 \sqrt[6]{60})}{25}$

Étape 11.2.15.3

Multipliez $3$ par $15$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{45 \sqrt[6]{60}}{25}$

Étape 11.2.16

Annulez le facteur commun à $45$ et $25$ .

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Étape 11.2.16.1

Factorisez $5$ à partir de $45 \sqrt[6]{60}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{5 (9 \sqrt[6]{60})}{25}$

Étape 11.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.16.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{5 (9 \sqrt[6]{60})}{5 (5)}$

Étape 11.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{5 (9 \sqrt[6]{60})}{5 \cdot 5}$

Étape 11.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{450}}{5}) = \frac{9 \sqrt[6]{60}}{5}$

Étape 11.2.17

La réponse finale est $\frac{9 \sqrt[6]{60}}{5}$ .

$y = \frac{9 \sqrt[6]{60}}{5}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt[3]{9}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(\sqrt[3]{9})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {\sqrt[3]{9}}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ comme $9$ .

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Étape 13.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{9}$ comme $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - {(9^{\frac{1}{3}})}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9^{\frac{1}{3} \cdot 3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9^{\frac{3}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9^{\frac{3}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9^{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 {(9 - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0^{3}}$

Étape 13.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.2.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{4 \cdot 0}$

Étape 13.2.4.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{0}$

Étape 13.2.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{0}$

Étape 13.2.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{3 {(\sqrt[3]{9})}^{2} (5 {(\sqrt[3]{9})}^{3} - 72)}{0}$

Étape 13.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 15