Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{x^{2} - 9}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 9}$ comme ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.3

Placez ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.11

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12

Associez les fractions.

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Étape 1.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12.2

Associez $2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12.3

Associez $\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.16.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.18

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.19

Pour écrire ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.21.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{1}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22

Simplifiez ${(x^{2} - 9)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.23

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{2} - 9$ et $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 9) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.4.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.6.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.4.6.2

Déplacez $4$ à gauche de ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.10.3

Placez ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.13

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.14

Simplifiez les termes.

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Étape 2.14.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} - 9}$

Étape 2.14.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) (\frac{2}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} - 9}$

Étape 2.14.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.14.4

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.14.5

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 9) \frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) + 9) (\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 9) (\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 9) (\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.2

Multipliez $- 2 x^{2} + 9$ par $\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.3

Pour écrire $4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5

Réécrivez $\frac{4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.15.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 9) x$ .

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Étape 2.15.2.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} + 9) x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $(- 2 x^{2} + 9) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.2

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.2.5.2.1

Déplacez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 ({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} - 9) - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.3

Simplifiez $4 {(x^{2} - 9)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} - 9) - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot - 9 - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.5

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} - 36 - 2 x^{2} + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 36 + 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.2.5.7

Additionnez $- 36$ et $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.3

Associez des termes.

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Étape 2.15.3.1

Réécrivez $\frac{\frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 9}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 2.15.3.2

Multipliez $\frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} - 9}$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 9)}$

Étape 2.15.3.3

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} - 9$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.3.1

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} - 9$ .

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Étape 2.15.3.3.1.1

Élevez $x^{2} - 9$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 9)}$

Étape 2.15.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.15.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.15.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.15.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 9}$ comme ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8

Associez les fractions.

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Étape 4.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.3

Placez ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.11

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.12

Associez les fractions.

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Étape 4.1.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.12.2

Associez $2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.12.3

Associez $\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.16

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.16.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.18

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.19

Pour écrire ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.21

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.21.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.21.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.21.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.21.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} - 9)}^{1}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.22

Simplifiez ${(x^{2} - 9)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.23

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{2} - 9 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 9$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 9$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 9$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{2}$

Étape 5.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ .

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{9}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.3

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.4.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.3.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.3.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.3.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2 x^{2} - 9}{\sqrt{{(x^{2} - 9)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2 x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} - 9}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} - 9}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 9}$ comme ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 9)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 9 = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 6.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 6.3.3.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 6.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 6.3.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 6.3.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 6.3.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 9}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 9 < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} < 9$

Étape 6.5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{9}$

Étape 6.5.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | < \sqrt{9}$

Étape 6.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{9}$ .

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Étape 6.5.3.2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| x | < \sqrt{3^{2}}$

Étape 6.5.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | < | 3 |$

Étape 6.5.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$| x | < 3$

Étape 6.5.4

Écrivez $| x | < 3$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.5.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.5.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x < 3$

Étape 6.5.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.5.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x < 3$

Étape 6.5.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x < 3 & x \geq 0 \\ - x < 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 6.5.5

Déterminez l’intersection de $x < 3$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 3$

Étape 6.5.6

Résolvez $- x < 3$ quand $x < 0$ .

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Étape 6.5.6.1

Divisez chaque terme dans $- x < 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.6.1.1

Divisez chaque terme dans $- x < 3$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{3}{- 1}$

Étape 6.5.6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.6.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{3}{- 1}$

Étape 6.5.6.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{3}{- 1}$

Étape 6.5.6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.6.1.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x > - 3$

Étape 6.5.6.2

Déterminez l’intersection de $x > - 3$ et $x < 0$ .

$- 3 < x < 0$

Étape 6.5.7

Déterminez l’union des solutions.

$- 3 < x < 3$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$- 3 \leq x \leq 3$

$[- 3, 3]$

$- 3 \leq x \leq 3$

$[- 3, 3]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 3, 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{{(9 - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0^{3}}$

Étape 9.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{(- 3) (2 {(- 3)}^{2} - 27)}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11