Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sec^{2} (x) + \tan (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sec^{2} (x) + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sec^{2} (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$x (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$x (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$x (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.6

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$x (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2.9

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Additionnez $\sec^{2} (x)$ et $\sec^{2} (x)$ .

$x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \sec^{2} (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x \sec^{2} (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (x \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (x \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.4

$f'' (x) = 2 (x \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.6

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.8

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.8.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan (x) (x (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (x {\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (x (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.8.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.9

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.10

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.2.13

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{2} (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 2 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 2 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 2 (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 2.3.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 2 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Étape 2.3.5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 2 (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Étape 2.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 2 (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Étape 2.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 2 (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Étape 2.3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x))) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x) + \tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 (x \sec^{4} (x)) + 2 (\tan (x) (x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)))) + 2 (\tan (x) \sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 x \sec^{4} (x) + 2 (x (2 \sec^{2} (x) (\tan (x) \tan (x)))) + 2 (\tan (x) \sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4.3.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 x \sec^{4} (x) + 2 (x (2 \sec^{2} (x) (\tan (x) \tan (x)))) + 2 (\tan (x) \sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 x \sec^{4} (x) + 2 (x (2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1})) + 2 (\tan (x) \sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 x \sec^{4} (x) + 2 (x (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x))) + 2 (\tan (x) \sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 x \sec^{4} (x) + 4 (x (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x))) + 2 (\tan (x) \sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4.3.6

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 x \sec^{4} (x) + 4 x (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4.3.7

Additionnez $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ et $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 x \sec^{4} (x) + 4 x (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 6 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 2 x \sec^{4} (x) + 4 x \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 6 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x) = 0$

Étape 4

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 2.79838604, 2.79838604, - 6.12125046, 6.12125046, - 9.31786646, 9.31786646, - 12.48645439$

Étape 5

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2.79838604$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (- 2.79838604) \sec^{4} (- 2.79838604) + 4 (- 2.79838604) \sec^{2} (- 2.79838604) \tan^{2} (- 2.79838604) + 6 \sec^{2} (- 2.79838604) \tan (- 2.79838604)$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2$ par $- 2.79838604$ .

$- 5.59677209 \sec^{4} (- 2.79838604) + 4 (- 2.79838604) \sec^{2} (- 2.79838604) \tan^{2} (- 2.79838604) + 6 \sec^{2} (- 2.79838604) \tan (- 2.79838604)$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 5.59677209$ par $\sec^{4} (- 2.79838604)$ .

$- 7.11743304 + 4 (- 2.79838604) \sec^{2} (- 2.79838604) \tan^{2} (- 2.79838604) + 6 \sec^{2} (- 2.79838604) \tan (- 2.79838604)$

Étape 6.1.3

Multipliez $4$ par $- 2.79838604$ .

$- 7.11743304 - 11.19354418 \sec^{2} (- 2.79838604) \tan^{2} (- 2.79838604) + 6 \sec^{2} (- 2.79838604) \tan (- 2.79838604)$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 11.19354418$ par $\sec^{2} (- 2.79838604)$ .

$- 7.11743304 - 12.62293953 \tan^{2} (- 2.79838604) + 6 \sec^{2} (- 2.79838604) \tan (- 2.79838604)$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 12.62293953$ par $\tan^{2} (- 2.79838604)$ .

$- 7.11743304 - 1.61192654 + 6 \sec^{2} (- 2.79838604) \tan (- 2.79838604)$

Étape 6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1.61192654$ de $- 7.11743304$ .

$- 8.72935958 + 6 \sec^{2} (- 2.79838604) \tan (- 2.79838604)$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 8.72935958$ et $6 \sec^{2} (- 2.79838604) \tan (- 2.79838604)$ .

$- 6.31146976$

Étape 7

$x = - 2.79838604$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2.79838604$ est un maximum local

Étape 8

Déterminez la valeur y quand $x = - 2.79838604$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.79838604$ dans l’expression.

$f (- 2.79838604) = (- 2.79838604) \sec^{2} (- 2.79838604) + \tan (- 2.79838604)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 2.79838604$ par $\sec^{2} (- 2.79838604)$ .

$f (- 2.79838604) = - 3.15573488 + \tan (- 2.79838604)$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 3.15573488$ et $\tan (- 2.79838604)$ .

$f (- 2.79838604) = - 2.79838604$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 2.79838604$ .

$y = - 2.79838604$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2.79838604$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (2.79838604) \sec^{4} (2.79838604) + 4 (2.79838604) \sec^{2} (2.79838604) \tan^{2} (2.79838604) + 6 \sec^{2} (2.79838604) \tan (2.79838604)$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Multipliez $2$ par $2.79838604$ .

$5.59677209 \sec^{4} (2.79838604) + 4 (2.79838604) \sec^{2} (2.79838604) \tan^{2} (2.79838604) + 6 \sec^{2} (2.79838604) \tan (2.79838604)$

Étape 10.1.2

Multipliez $5.59677209$ par $\sec^{4} (2.79838604)$ .

$7.11743304 + 4 (2.79838604) \sec^{2} (2.79838604) \tan^{2} (2.79838604) + 6 \sec^{2} (2.79838604) \tan (2.79838604)$

Étape 10.1.3

Multipliez $4$ par $2.79838604$ .

$7.11743304 + 11.19354418 \sec^{2} (2.79838604) \tan^{2} (2.79838604) + 6 \sec^{2} (2.79838604) \tan (2.79838604)$

Étape 10.1.4

Multipliez $11.19354418$ par $\sec^{2} (2.79838604)$ .

$7.11743304 + 12.62293953 \tan^{2} (2.79838604) + 6 \sec^{2} (2.79838604) \tan (2.79838604)$

Étape 10.1.5

Multipliez $12.62293953$ par $\tan^{2} (2.79838604)$ .

$7.11743304 + 1.61192654 + 6 \sec^{2} (2.79838604) \tan (2.79838604)$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Additionnez $7.11743304$ et $1.61192654$ .

$8.72935958 + 6 \sec^{2} (2.79838604) \tan (2.79838604)$

Étape 10.2.2

Additionnez $8.72935958$ et $6 \sec^{2} (2.79838604) \tan (2.79838604)$ .

$6.31146976$

Étape 11

$x = 2.79838604$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2.79838604$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 2.79838604$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $2.79838604$ dans l’expression.

$f (2.79838604) = (2.79838604) \sec^{2} (2.79838604) + \tan (2.79838604)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Multipliez $2.79838604$ par $\sec^{2} (2.79838604)$ .

$f (2.79838604) = 3.15573488 + \tan (2.79838604)$

Étape 12.2.2

Additionnez $3.15573488$ et $\tan (2.79838604)$ .

$f (2.79838604) = 2.79838604$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $2.79838604$ .

$y = 2.79838604$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 6.12125046$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (- 6.12125046) \sec^{4} (- 6.12125046) + 4 (- 6.12125046) \sec^{2} (- 6.12125046) \tan^{2} (- 6.12125046) + 6 \sec^{2} (- 6.12125046) \tan (- 6.12125046)$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Multipliez $2$ par $- 6.12125046$ .

$- 12.24250093 \sec^{4} (- 6.12125046) + 4 (- 6.12125046) \sec^{2} (- 6.12125046) \tan^{2} (- 6.12125046) + 6 \sec^{2} (- 6.12125046) \tan (- 6.12125046)$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 12.24250093$ par $\sec^{4} (- 6.12125046)$ .

$- 12.90468204 + 4 (- 6.12125046) \sec^{2} (- 6.12125046) \tan^{2} (- 6.12125046) + 6 \sec^{2} (- 6.12125046) \tan (- 6.12125046)$

Étape 14.1.3

Multipliez $4$ par $- 6.12125046$ .

$- 12.90468204 - 24.48500186 \sec^{2} (- 6.12125046) \tan^{2} (- 6.12125046) + 6 \sec^{2} (- 6.12125046) \tan (- 6.12125046)$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 24.48500186$ par $\sec^{2} (- 6.12125046)$ .

$- 12.90468204 - 25.13846312 \tan^{2} (- 6.12125046) + 6 \sec^{2} (- 6.12125046) \tan (- 6.12125046)$

Étape 14.1.5

Multipliez $- 25.13846312$ par $\tan^{2} (- 6.12125046)$ .

$- 12.90468204 - 0.67090097 + 6 \sec^{2} (- 6.12125046) \tan (- 6.12125046)$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Soustrayez $0.67090097$ de $- 12.90468204$ .

$- 13.57558302 + 6 \sec^{2} (- 6.12125046) \tan (- 6.12125046)$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 13.57558302$ et $6 \sec^{2} (- 6.12125046) \tan (- 6.12125046)$ .

$- 12.56923156$

Étape 15

$x = - 6.12125046$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 6.12125046$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 6.12125046$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6.12125046$ dans l’expression.

$f (- 6.12125046) = (- 6.12125046) \sec^{2} (- 6.12125046) + \tan (- 6.12125046)$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Multipliez $- 6.12125046$ par $\sec^{2} (- 6.12125046)$ .

$f (- 6.12125046) = - 6.28461578 + \tan (- 6.12125046)$

Étape 16.2.2

Additionnez $- 6.28461578$ et $\tan (- 6.12125046)$ .

$f (- 6.12125046) = - 6.12125046$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 6.12125046$ .

$y = - 6.12125046$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6.12125046$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (6.12125046) \sec^{4} (6.12125046) + 4 (6.12125046) \sec^{2} (6.12125046) \tan^{2} (6.12125046) + 6 \sec^{2} (6.12125046) \tan (6.12125046)$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.1

Multipliez $2$ par $6.12125046$ .

$12.24250093 \sec^{4} (6.12125046) + 4 (6.12125046) \sec^{2} (6.12125046) \tan^{2} (6.12125046) + 6 \sec^{2} (6.12125046) \tan (6.12125046)$

Étape 18.1.2

Multipliez $12.24250093$ par $\sec^{4} (6.12125046)$ .

$12.90468204 + 4 (6.12125046) \sec^{2} (6.12125046) \tan^{2} (6.12125046) + 6 \sec^{2} (6.12125046) \tan (6.12125046)$

Étape 18.1.3

Multipliez $4$ par $6.12125046$ .

$12.90468204 + 24.48500186 \sec^{2} (6.12125046) \tan^{2} (6.12125046) + 6 \sec^{2} (6.12125046) \tan (6.12125046)$

Étape 18.1.4

Multipliez $24.48500186$ par $\sec^{2} (6.12125046)$ .

$12.90468204 + 25.13846312 \tan^{2} (6.12125046) + 6 \sec^{2} (6.12125046) \tan (6.12125046)$

Étape 18.1.5

Multipliez $25.13846312$ par $\tan^{2} (6.12125046)$ .

$12.90468204 + 0.67090097 + 6 \sec^{2} (6.12125046) \tan (6.12125046)$

Étape 18.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Additionnez $12.90468204$ et $0.67090097$ .

$13.57558302 + 6 \sec^{2} (6.12125046) \tan (6.12125046)$

Étape 18.2.2

Additionnez $13.57558302$ et $6 \sec^{2} (6.12125046) \tan (6.12125046)$ .

$12.56923156$

Étape 19

$x = 6.12125046$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6.12125046$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = 6.12125046$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $6.12125046$ dans l’expression.

$f (6.12125046) = (6.12125046) \sec^{2} (6.12125046) + \tan (6.12125046)$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1

Multipliez $6.12125046$ par $\sec^{2} (6.12125046)$ .

$f (6.12125046) = 6.28461578 + \tan (6.12125046)$

Étape 20.2.2

Additionnez $6.28461578$ et $\tan (6.12125046)$ .

$f (6.12125046) = 6.12125046$

Étape 20.2.3

La réponse finale est $6.12125046$ .

$y = 6.12125046$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 9.31786646$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (- 9.31786646) \sec^{4} (- 9.31786646) + 4 (- 9.31786646) \sec^{2} (- 9.31786646) \tan^{2} (- 9.31786646) + 6 \sec^{2} (- 9.31786646) \tan (- 9.31786646)$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1.1

Multipliez $2$ par $- 9.31786646$ .

$- 18.63573292 \sec^{4} (- 9.31786646) + 4 (- 9.31786646) \sec^{2} (- 9.31786646) \tan^{2} (- 9.31786646) + 6 \sec^{2} (- 9.31786646) \tan (- 9.31786646)$

Étape 22.1.2

Multipliez $- 18.63573292$ par $\sec^{4} (- 9.31786646)$ .

$- 19.06748792 + 4 (- 9.31786646) \sec^{2} (- 9.31786646) \tan^{2} (- 9.31786646) + 6 \sec^{2} (- 9.31786646) \tan (- 9.31786646)$

Étape 22.1.3

Multipliez $4$ par $- 9.31786646$ .

$- 19.06748792 - 37.27146584 \sec^{2} (- 9.31786646) \tan^{2} (- 9.31786646) + 6 \sec^{2} (- 9.31786646) \tan (- 9.31786646)$

Étape 22.1.4

Multipliez $- 37.27146584$ par $\sec^{2} (- 9.31786646)$ .

$- 19.06748792 - 37.70074866 \tan^{2} (- 9.31786646) + 6 \sec^{2} (- 9.31786646) \tan (- 9.31786646)$

Étape 22.1.5

Multipliez $- 37.70074866$ par $\tan^{2} (- 9.31786646)$ .

$- 19.06748792 - 0.43422718 + 6 \sec^{2} (- 9.31786646) \tan (- 9.31786646)$

Étape 22.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1

Soustrayez $0.43422718$ de $- 19.06748792$ .

$- 19.50171511 + 6 \sec^{2} (- 9.31786646) \tan (- 9.31786646)$

Étape 22.2.2

Additionnez $- 19.50171511$ et $6 \sec^{2} (- 9.31786646) \tan (- 9.31786646)$ .

$- 18.85037433$

Étape 23

$x = - 9.31786646$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 9.31786646$ est un maximum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = - 9.31786646$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $- 9.31786646$ dans l’expression.

$f (- 9.31786646) = (- 9.31786646) \sec^{2} (- 9.31786646) + \tan (- 9.31786646)$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1

Multipliez $- 9.31786646$ par $\sec^{2} (- 9.31786646)$ .

$f (- 9.31786646) = - 9.42518716 + \tan (- 9.31786646)$

Étape 24.2.2

Additionnez $- 9.42518716$ et $\tan (- 9.31786646)$ .

$f (- 9.31786646) = - 9.31786646$

Étape 24.2.3

La réponse finale est $- 9.31786646$ .

$y = - 9.31786646$

Étape 25

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 9.31786646$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (9.31786646) \sec^{4} (9.31786646) + 4 (9.31786646) \sec^{2} (9.31786646) \tan^{2} (9.31786646) + 6 \sec^{2} (9.31786646) \tan (9.31786646)$

Étape 26

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1.1

Multipliez $2$ par $9.31786646$ .

$18.63573292 \sec^{4} (9.31786646) + 4 (9.31786646) \sec^{2} (9.31786646) \tan^{2} (9.31786646) + 6 \sec^{2} (9.31786646) \tan (9.31786646)$

Étape 26.1.2

Multipliez $18.63573292$ par $\sec^{4} (9.31786646)$ .

$19.06748792 + 4 (9.31786646) \sec^{2} (9.31786646) \tan^{2} (9.31786646) + 6 \sec^{2} (9.31786646) \tan (9.31786646)$

Étape 26.1.3

Multipliez $4$ par $9.31786646$ .

$19.06748792 + 37.27146584 \sec^{2} (9.31786646) \tan^{2} (9.31786646) + 6 \sec^{2} (9.31786646) \tan (9.31786646)$

Étape 26.1.4

Multipliez $37.27146584$ par $\sec^{2} (9.31786646)$ .

$19.06748792 + 37.70074866 \tan^{2} (9.31786646) + 6 \sec^{2} (9.31786646) \tan (9.31786646)$

Étape 26.1.5

Multipliez $37.70074866$ par $\tan^{2} (9.31786646)$ .

$19.06748792 + 0.43422718 + 6 \sec^{2} (9.31786646) \tan (9.31786646)$

Étape 26.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.2.1

Additionnez $19.06748792$ et $0.43422718$ .

$19.50171511 + 6 \sec^{2} (9.31786646) \tan (9.31786646)$

Étape 26.2.2

Additionnez $19.50171511$ et $6 \sec^{2} (9.31786646) \tan (9.31786646)$ .

$18.85037433$

Étape 27

$x = 9.31786646$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 9.31786646$ est un minimum local

Étape 28

Déterminez la valeur y quand $x = 9.31786646$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.1

Remplacez la variable $x$ par $9.31786646$ dans l’expression.

$f (9.31786646) = (9.31786646) \sec^{2} (9.31786646) + \tan (9.31786646)$

Étape 28.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.2.1

Multipliez $9.31786646$ par $\sec^{2} (9.31786646)$ .

$f (9.31786646) = 9.42518716 + \tan (9.31786646)$

Étape 28.2.2

Additionnez $9.42518716$ et $\tan (9.31786646)$ .

$f (9.31786646) = 9.31786646$

Étape 28.2.3

La réponse finale est $9.31786646$ .

$y = 9.31786646$

Étape 29

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 12.48645439$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (- 12.48645439) \sec^{4} (- 12.48645439) + 4 (- 12.48645439) \sec^{2} (- 12.48645439) \tan^{2} (- 12.48645439) + 6 \sec^{2} (- 12.48645439) \tan (- 12.48645439)$

Étape 30

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 30.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 30.1.1

Multipliez $2$ par $- 12.48645439$ .

$- 24.97290879 \sec^{4} (- 12.48645439) + 4 (- 12.48645439) \sec^{2} (- 12.48645439) \tan^{2} (- 12.48645439) + 6 \sec^{2} (- 12.48645439) \tan (- 12.48645439)$

Étape 30.1.2

Multipliez $- 24.97290879$ par $\sec^{4} (- 12.48645439)$ .

$- 27.48223698 + 4 (- 12.48645439) \sec^{2} (- 12.48645439) \tan^{2} (- 12.48645439) + 6 \sec^{2} (- 12.48645439) \tan (- 12.48645439)$

Étape 30.1.3

Multipliez $4$ par $- 12.48645439$ .

$- 27.48223698 - 49.94581758 \sec^{2} (- 12.48645439) \tan^{2} (- 12.48645439) + 6 \sec^{2} (- 12.48645439) \tan (- 12.48645439)$

Étape 30.1.4

Multipliez $- 49.94581758$ par $\sec^{2} (- 12.48645439)$ .

$- 27.48223698 - 52.39509128 \tan^{2} (- 12.48645439) + 6 \sec^{2} (- 12.48645439) \tan (- 12.48645439)$

Étape 30.1.5

Multipliez $- 52.39509128$ par $\tan^{2} (- 12.48645439)$ .

$- 27.48223698 - 2.56938269 + 6 \sec^{2} (- 12.48645439) \tan (- 12.48645439)$

Étape 30.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 30.2.1

Soustrayez $2.56938269$ de $- 27.48223698$ .

$- 30.05161968 + 6 \sec^{2} (- 12.48645439) \tan (- 12.48645439)$

Étape 30.2.2

Additionnez $- 30.05161968$ et $6 \sec^{2} (- 12.48645439) \tan (- 12.48645439)$ .

$- 31.44545614$

Étape 31

$x = - 12.48645439$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 12.48645439$ est un maximum local

Étape 32

Déterminez la valeur y quand $x = - 12.48645439$ .

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Étape 32.1

Remplacez la variable $x$ par $- 12.48645439$ dans l’expression.

$f (- 12.48645439) = (- 12.48645439) \sec^{2} (- 12.48645439) + \tan (- 12.48645439)$

Étape 32.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 32.2.1

Multipliez $- 12.48645439$ par $\sec^{2} (- 12.48645439)$ .

$f (- 12.48645439) = - 13.09877282 + \tan (- 12.48645439)$

Étape 32.2.2

Additionnez $- 13.09877282$ et $\tan (- 12.48645439)$ .

$f (- 12.48645439) = - 13.32021946$

Étape 32.2.3

La réponse finale est $- 13.32021946$ .

$y = - 13.32021946$

Étape 33

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x \sec^{2} (x) + \tan (x)$ .

$(- 2.79838604, - 2.79838604)$ est un maximum local

$(2.79838604, 2.79838604)$ est un minimum local

$(- 6.12125046, - 6.12125046)$ est un maximum local

$(6.12125046, 6.12125046)$ est un minimum local

$(- 9.31786646, - 9.31786646)$ est un maximum local

$(9.31786646, 9.31786646)$ est un minimum local

$(- 12.48645439, - 13.32021946)$ est un maximum local

Étape 34