Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (x) - 1$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 1 + \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 1 + \cos (x) = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 8

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 9

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin (0)$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 0$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 12

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Étape 12.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 1 + \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 1 + \cos (- 2)$

Étape 12.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Évaluez $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1 - 0.41614683$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $0.41614683$ de $- 1$ .

$f' (- 2) = - 1.41614683$

Étape 12.2.2.3

La réponse finale est $- 1.41614683$ .

$- 1.41614683$

Étape 12.3

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(0, 2 π)$ dans la dérivée première $- 1 + \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - 1 + \cos (3)$

Étape 12.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.2.1

Évaluez $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 1 - 0.98999249$

Étape 12.3.2.2

Soustrayez $0.98999249$ de $- 1$ .

$f' (3) = - 1.98999249$

Étape 12.3.2.3

La réponse finale est $- 1.98999249$ .

$- 1.98999249$

Étape 12.4

Remplacez tout nombre, tel que $9$ , de l’intervalle $(2 π, \infty)$ dans la dérivée première $- 1 + \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = - 1 + \cos (9)$

Étape 12.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.2.1

Évaluez $\cos (9)$ .

$f' (9) = - 1 - 0.91113026$

Étape 12.4.2.2

Soustrayez $0.91113026$ de $- 1$ .

$f' (9) = - 1.91113026$

Étape 12.4.2.3

La réponse finale est $- 1.91113026$ .

$- 1.91113026$

Étape 12.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 12.6

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = \sin (x) - x$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 13