Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x (9 - x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Étape 1.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.8.1

Multipliez $9 - x^{2}$ par $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Étape 1.8.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Étape 4.1.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.8.1

Multipliez $9 - x^{2}$ par $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Étape 4.1.8.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 9$ .

$- 3 x^{2} + 9$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 9 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 9 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 9$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 9$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 9$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 9$ par $- 3$ .

$x^{2} = 3$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \sqrt{3}$

Étape 9

$x = \sqrt{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{3}$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{3}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{3}) = (\sqrt{3}) (9 - {(\sqrt{3})}^{2})$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Étape 10.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Étape 10.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Étape 10.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Étape 10.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Étape 10.2.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} (9 - 3)$

Étape 10.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $3$ de $9$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 6$

Étape 10.2.2.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 (- \sqrt{3})$

Étape 12

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6 \sqrt{3}$

Étape 13

$x = - \sqrt{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{3}$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{3}$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = (- \sqrt{3}) (9 - {(- \sqrt{3})}^{2})$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}))$

Étape 14.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}))$

Étape 14.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 14.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2}))$

Étape 14.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 14.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 14.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 14.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 14.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Étape 14.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Étape 14.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Étape 14.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3^{\frac{2}{2}})$

Étape 14.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Étape 14.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 1 \cdot 3)$

Étape 14.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} (9 - 3)$

Étape 14.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.2.2.1

Soustrayez $3$ de $9$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} \cdot 6$

Étape 14.2.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}$

Étape 14.2.3

La réponse finale est $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Étape 15

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x (9 - x^{2})$ .

$(\sqrt{3}, 6 \sqrt{3})$ est un maximum local

$(- \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ est un minimum local

Étape 16