Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6.3

Associez $\frac{4}{2}$ et ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.3.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.6.4.2.4

Divisez $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ par $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Étape 1.3.8

Multipliez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ par $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ à partir de $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Étape 1.4.1.2

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ à partir de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Étape 1.4.1.3

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ à partir de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Étape 1.4.1.4

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ à partir de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Pour écrire $2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Étape 1.4.2.2

Associez $2 x$ et $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Étape 1.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Étape 1.4.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Étape 1.4.2.5

Additionnez $4 x$ et $x$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ et $g (x) = \frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 4) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5 x}{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Étape 2.2.2

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 4)) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Étape 2.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Étape 2.2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $\frac{5}{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Étape 2.2.6.2

Associez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ et $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Étape 2.2.6.3

Déplacez $5$ à gauche de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 4)}^{3})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 4) (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4))$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $\frac{5 x}{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 4)$

Étape 2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.4.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.4.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.4.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 2.4.7

Associez les fractions.

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Étape 2.4.7.1

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{1}{2})$

Étape 2.4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 4) {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})$

Étape 2.4.7.3

Associez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ et $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Étape 2.4.7.4

Déplacez $3$ à gauche de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)$

Étape 2.5

Pour écrire $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.6

Associez $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4) \cdot 2}{2}$

Étape 2.8

Associez $2$ et $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Étape 2.9

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Étape 2.10

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $6 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Étape 2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Étape 2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Étape 2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Étape 2.10.2.4

Divisez $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1.1

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ à partir de $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

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Étape 2.11.1.1.1

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ à partir de $5 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + 3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)}{2}$

Étape 2.11.1.1.2

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ à partir de $3 {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Étape 2.11.1.1.3

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2}$ à partir de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 4))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 4) + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Étape 2.11.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Étape 2.11.1.3

Associez $5$ et $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 4 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Étape 2.11.1.4

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2} - 4))}{2}$

Étape 2.11.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 4)}{2}$

Étape 2.11.1.6

Multipliez $3 \frac{5 x}{2}$ .

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Étape 2.11.1.6.1

Associez $3$ et $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Étape 2.11.1.6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 4)}{2}$

Étape 2.11.1.7

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 20 + \frac{15 x}{2} - 12)}{2}$

Étape 2.11.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 20 - 12)}{2}$

Étape 2.11.1.9

Soustrayez $12$ de $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.10

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.11

Associez $- 4$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 4 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.13

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.14

Additionnez $5 x$ et $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.15

Annulez le facteur commun à $20$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1.15.1

Factorisez $2$ à partir de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.11.1.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.15.2.4

Divisez $10 x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 8}{2})}^{2} (10 x - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.16

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 8}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.17

Factorisez $2$ à partir de $10 x - 32$ .

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Étape 2.11.1.17.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) - 32)}{2}$

Étape 2.11.1.17.2

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x) + 2 (- 16))}{2}$

Étape 2.11.1.17.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 x) + 2 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (2 (5 x - 16))}{2}$

Étape 2.11.1.18

Associez $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2^{2}}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Étape 2.11.1.19

Réduisez l’expression $\frac{{(x - 8)}^{2} \cdot 2}{2^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.11.1.19.1

Factorisez $2$ à partir de ${(x - 8)}^{2} \cdot 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2^{2}} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Étape 2.11.1.19.2

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Étape 2.11.1.19.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot {(x - 8)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Étape 2.11.1.19.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot (5 x - 16)}{2}$

Étape 2.11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{(5 x - 16) (\frac{{(x - 8)}^{2}}{2})}{2}$

Étape 2.11.3

Factorisez $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ à partir de $\frac{(5 x - 16) \frac{{(x - 8)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$

Étape 2.11.4

Multipliez $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2} \cdot \frac{5 x - 16}{2}$ .

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Étape 2.11.4.1

Multipliez $\frac{{(x - 8)}^{2}}{2}$ par $\frac{5 x - 16}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{2 \cdot 2}$

Étape 2.11.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 8)}^{2} (5 x - 16)}{4}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 4)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \frac{x}{2} - 4$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2} - 4$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 4]) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.3.6.1

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.6.3

Associez $\frac{4}{2}$ et ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.6.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.1.3.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.6.4.2.4

Divisez $2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ par $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4} \cdot 1$

Étape 4.1.3.8

Multipliez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ par $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ à partir de $x (2 {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

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Étape 4.1.4.1.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Étape 4.1.4.1.2

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ à partir de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$

Étape 4.1.4.1.3

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ à partir de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$

Étape 4.1.4.1.4

Factorisez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ à partir de ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 4)$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Pour écrire $2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Étape 4.1.4.2.2

Associez $2 x$ et $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 4)$

Étape 4.1.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 4)$

Étape 4.1.4.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 4)$

Étape 4.1.4.2.5

Additionnez $4 x$ et $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Étape 5.3

Définissez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Définissez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3}$ égal à $0$ .

${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$

Étape 5.3.2

Résolvez ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Définissez le $\frac{x}{2} - 4$ égal à $0$ .

$\frac{x}{2} - 4 = 0$

Étape 5.3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = 4$

Étape 5.3.2.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 4$

Étape 5.3.2.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot 4$

Étape 5.3.2.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = 8$

Étape 5.4

Définissez $\frac{5 x}{2} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $\frac{5 x}{2} - 4$ égal à $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 4 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $\frac{5 x}{2} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{5 x}{2} = 4$

Étape 5.4.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.3.1.1

Simplifiez $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

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Étape 5.4.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 4$

Étape 5.4.2.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Étape 5.4.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.4.2.3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Étape 5.4.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 4$

Étape 5.4.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{5} \cdot 4$

Étape 5.4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{5} \cdot 4$ .

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Étape 5.4.2.3.2.1.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{5}$

Étape 5.4.2.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{8}{5}$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4) = 0$ vraie.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 8, \frac{8}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)}{4}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun à $5 (8) - 16$ et $4$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de ${((8) - 8)}^{2} (5 (8) - 16)$ .

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4}$

Étape 9.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 (1)}$

Étape 9.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 ({((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4))}{4 \cdot 1}$

Étape 9.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)}{1}$

Étape 9.1.1.2.4

Divisez ${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$ par $1$ .

${((8) - 8)}^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Étape 9.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0^{2} (5 \cdot (2) - 4)$

Étape 9.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 (5 \cdot (2) - 4)$

Étape 9.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$0 (10 - 4)$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $4$ de $10$ .

$0 \cdot 6$

Étape 9.3.2

Multipliez $0$ par $6$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{8}{5}) \cup (\frac{8}{5}, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{8}{5})$ dans la dérivée première ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f' (0) = {(0 - 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f' (0) = {(- 4)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Étape 10.2.2.3

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{5 (0)}{2} - 4)$

Étape 10.2.2.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$f' (0) = - 64 (\frac{0}{2} - 4)$

Étape 10.2.2.5

Divisez $0$ par $2$ .

$f' (0) = - 64 (0 - 4)$

Étape 10.2.2.6

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f' (0) = - 64 \cdot - 4$

Étape 10.2.2.7

Multipliez $- 64$ par $- 4$ .

$f' (0) = 256$

Étape 10.2.2.8

La réponse finale est $256$ .

$256$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(\frac{8}{5}, 8)$ dans la dérivée première ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = {(\frac{5}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (5) = {(\frac{5 - 4 \cdot 2}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f' (5) = {(\frac{5 - 8}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.4.2

Soustrayez $8$ de $5$ .

$f' (5) = {(\frac{- 3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (5) = {(- \frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.3.2.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f' (5) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (5) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (5) = - \frac{3^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{2^{3}} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{5 (5)}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.10

Multipliez $5$ par $5$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4)$

Étape 10.3.2.11

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 10.3.2.12

Associez $- 4$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot (\frac{25}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2})$

Étape 10.3.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 4 \cdot 2}{2}$

Étape 10.3.2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.2.14.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{25 - 8}{2}$

Étape 10.3.2.14.2

Soustrayez $8$ de $25$ .

$f' (5) = - \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$

Étape 10.3.2.15

Multipliez $- \frac{27}{8} \cdot \frac{17}{2}$ .

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Étape 10.3.2.15.1

Multipliez $\frac{17}{2}$ par $\frac{27}{8}$ .

$f' (5) = - \frac{17 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Étape 10.3.2.15.2

Multipliez $17$ par $27$ .

$f' (5) = - \frac{459}{2 \cdot 8}$

Étape 10.3.2.15.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$f' (5) = - \frac{459}{16}$

Étape 10.3.2.16

La réponse finale est $- \frac{459}{16}$ .

$- \frac{459}{16}$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $10$ , de l’intervalle $(8, \infty)$ dans la dérivée première ${(\frac{x}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 4)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f' (10) = {(\frac{10}{2} - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Divisez $10$ par $2$ .

$f' (10) = {(5 - 4)}^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Étape 10.4.2.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f' (10) = 1^{3} (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Étape 10.4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (10) = 1 (\frac{5 (10)}{2} - 4)$

Étape 10.4.2.4

Multipliez $\frac{5 (10)}{2} - 4$ par $1$ .

$f' (10) = \frac{5 (10)}{2} - 4$

Étape 10.4.2.5

Multipliez $5$ par $10$ .

$f' (10) = \frac{50}{2} - 4$

Étape 10.4.2.6

Divisez $50$ par $2$ .

$f' (10) = 25 - 4$

Étape 10.4.2.7

Soustrayez $4$ de $25$ .

$f' (10) = 21$

Étape 10.4.2.8

La réponse finale est $21$ .

$21$

Étape 10.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{8}{5}$ , $x = \frac{8}{5}$ est un maximum local.

$x = \frac{8}{5}$ est un maximum local

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 8$ , $x = 8$ est un minimum local.

$x = 8$ est un minimum local

Étape 10.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 4)}^{4}$ .

$x = \frac{8}{5}$ est un maximum local

$x = 8$ est un minimum local

$x = \frac{8}{5}$ est un maximum local

$x = 8$ est un minimum local

Étape 11