Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) x - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.9

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4.3.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4.3.7

Soustrayez $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 1.4.3.8

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x^{2} + 5 {(3 x - 2)}^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.5.1

Réécrivez ${(3 x - 2)}^{2}$ comme $(3 x - 2) (3 x - 2)$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 ((3 x - 2) (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.2

Développez $(3 x - 2) (3 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.5

Simplifiez

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Étape 1.4.5.5.1

Multipliez $9$ par $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.5.2

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.5.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.6

Additionnez $3 x^{2}$ et $45 x^{2}$ .

$\frac{48 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.7

Soustrayez $4 x$ de $- 60 x$ .

$\frac{48 x^{2} - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8

Réécrivez $48 x^{2} - 64 x + 20$ en forme factorisée.

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Étape 1.4.5.8.1

Factorisez $4$ à partir de $48 x^{2} - 64 x + 20$ .

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Étape 1.4.5.8.1.1

Factorisez $4$ à partir de $48 x^{2}$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 64 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.1.3

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.4.5.8.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 12 \cdot 5 = 60$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 1.4.5.8.2.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 (x) + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.2.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $- 6$ plus $- 10$

$\frac{4 (12 x^{2} + (- 6 - 10) x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (12 x^{2} - 6 x - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.4.5.8.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{4 ((12 x^{2} - 6 x) - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{4 (6 x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{4 ((2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{(2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Étape 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{({(3 x - 2)}^{2})}^{2}})$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(3 x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2 \cdot 2}})$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 x - 1) (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x - 1$ et $g (x) = 6 x - 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (6 x - 5) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (\frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) (6 + 0) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} ((2 x - 1) \cdot 6 + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.6.2

Déplacez $6$ à gauche de $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 \cdot (2 x - 1) + (6 x - 5) \frac{d}{d x} (2 x - 1)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) (2 + 0)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + (6 x - 5) \cdot 2) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.5.12.2

Déplacez $2$ à gauche de $6 x - 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 \cdot (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) \frac{d}{d x} {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (2 u \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - (2 x - 1) (6 x - 5) (2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.7.2

Factorisez $3 x - 2$ à partir de ${(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2])$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $3 x - 2$ à partir de ${(3 x - 2)}^{2} (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $3 x - 2$ à partir de $- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) ((3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2])$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) + (3 x - 2) (- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $3 x - 2$ à partir de $(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5))) + (3 x - 2) (- 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} [3 x - 2]))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{{(3 x - 2)}^{4}})$

Étape 2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.1

Factorisez $3 x - 2$ à partir de ${(3 x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{(3 x - 2) {(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2)))}{(3 x - 2) {(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x - 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.12

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.13

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.14.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 2 (2 x - 1) (6 x - 5) \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.14.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 2.14.3

Associez $4$ et $\frac{(3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x - 1) + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x - 5)) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5) - 6 (2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5) + (- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (6 (2 x) + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.5.1.1.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x + 6 \cdot - 1 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.1.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 12 x + 2 \cdot - 5)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.1.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (12 x - 6 + 12 x - 10)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.2

Additionnez $12 x$ et $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (24 x - 6 - 10)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.3

Soustrayez $10$ de $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x - 2) (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.4

Développez $(3 x - 2) (24 x - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x - 16) - 2 (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x - 16)) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.15.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.5.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 x \cdot x) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.5.1.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 \cdot (24 x^{2}) + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.5.1.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.5.1.4

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 2 (24 x) - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.5.1.5

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 16) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.5.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 48 x + 32) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.5.2

Soustrayez $48 x$ de $- 48 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2} - 96 x + 32) + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (72 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.7

Simplifiez

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Étape 2.15.5.1.7.1

Multipliez $72$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.7.2

Multipliez $- 96$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 4 \cdot 32 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.7.3

Multipliez $4$ par $32$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 6 (2 x) - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.5.1.8.1

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 12 x - 6 \cdot - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.8.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 ((- 12 x + 6) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.9

Développez $(- 12 x + 6) (6 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.15.5.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x - 5) + 6 (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 x (6 x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.15.5.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.5.1.10.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 x \cdot x) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.5.1.10.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.10.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 12 \cdot (6 x^{2}) - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.10.1.3

Multipliez $- 12$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} - 12 x \cdot - 5 + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.10.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 6 (6 x) + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.10.1.5

Multipliez $6$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 36 x + 6 \cdot - 5)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.10.1.6

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 60 x + 36 x - 30)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.10.2

Additionnez $60 x$ et $36 x$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2} + 96 x - 30)}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 + 4 (- 72 x^{2}) + 4 (96 x) + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.12

Simplifiez

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Étape 2.15.5.1.12.1

Multipliez $- 72$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 4 (96 x) + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.12.2

Multipliez $96$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x + 4 \cdot - 30}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.1.12.3

Multipliez $4$ par $- 30$ .

$f'' (x) = \frac{288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.2

Associez les termes opposés dans $288 x^{2} - 384 x + 128 - 288 x^{2} + 384 x - 120$ .

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Étape 2.15.5.2.1

Soustrayez $288 x^{2}$ de $288 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 384 x + 128 + 0 + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.2.2

Additionnez $- 384 x + 128$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 384 x + 128 + 384 x - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.2.3

Additionnez $- 384 x$ et $384 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 128 - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.2.4

Additionnez $0$ et $128$ .

$f'' (x) = \frac{128 - 120}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 2.15.5.3

Soustrayez $120$ de $128$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(3 x - 2)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 x) - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) x - x^{2} (3 \cdot 1 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2.9

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 2) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4.3.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - 4 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4.3.7

Soustrayez $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + 5$

Étape 4.1.4.3.8

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}} + \frac{5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 5 {(3 x - 2)}^{2}}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x^{2} + 5 {(3 x - 2)}^{2} - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.4.5.1

Réécrivez ${(3 x - 2)}^{2}$ comme $(3 x - 2) (3 x - 2)$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 ((3 x - 2) (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.2

Développez $(3 x - 2) (3 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.4.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x - 2)) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.4.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.4.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 6 x - 6 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.5

Simplifiez

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Étape 4.1.4.5.5.1

Multipliez $9$ par $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} + 5 (- 12 x) + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.5.2

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 5 \cdot 4 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.5.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 45 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.6

Additionnez $3 x^{2}$ et $45 x^{2}$ .

$\frac{48 x^{2} - 60 x + 20 - 4 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.7

Soustrayez $4 x$ de $- 60 x$ .

$\frac{48 x^{2} - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8

Réécrivez $48 x^{2} - 64 x + 20$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.4.5.8.1

Factorisez $4$ à partir de $48 x^{2} - 64 x + 20$ .

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Étape 4.1.4.5.8.1.1

Factorisez $4$ à partir de $48 x^{2}$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) - 64 x + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 64 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 20}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.1.3

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (12 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (12 x^{2} - 16 x) + 4 (5)$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.4.5.8.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 12 \cdot 5 = 60$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 4.1.4.5.8.2.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 (x) + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.2.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $- 6$ plus $- 10$

$\frac{4 (12 x^{2} + (- 6 - 10) x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (12 x^{2} - 6 x - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.4.5.8.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{4 ((12 x^{2} - 6 x) - 10 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{4 (6 x (2 x - 1) - 5 (2 x - 1))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4.5.8.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{4 ((2 x - 1) (6 x - 5))}{{(3 x - 2)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (2 x - 1) (6 x - 5) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$6 x - 5 = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 5.3.2.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3

Définissez $6 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $6 x - 5$ égal à $0$ .

$6 x - 5 = 0$

Étape 5.3.3.2

Résolvez $6 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 5$

Étape 5.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $6 x = 5$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 5$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (2 x - 1) (6 x - 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{6}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 (2 x - 1) (6 x - 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez le $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 6.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 6.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 6.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 6.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{6}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8}{{(3 (\frac{1}{2}) - 2)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} - 2)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Étape 9.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Étape 9.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8}{{(\frac{3 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Étape 9.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{8}{{(\frac{3 - 4}{2})}^{3}}$

Étape 9.1.5.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{8}{{(\frac{- 1}{2})}^{3}}$

Étape 9.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8}{{(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Étape 9.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Étape 9.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{- {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Étape 9.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Étape 9.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8}{- \frac{1}{2^{3}}}$

Étape 9.1.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{- \frac{1}{8}}$

Étape 9.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$8 (- 1 \cdot 8)$

Étape 9.3

Multipliez $8 (- 1 \cdot 8)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$8 \cdot - 8$

Étape 9.3.2

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$- 64$

Étape 10

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2^{2}}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{3 (\frac{1}{2}) - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} - 2} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3 - 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3 - 4}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.2.5.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 1}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{- \frac{1}{2}} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (- 1 \cdot 2) + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (2)} \cdot (- 1 \cdot 2) + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 1 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \cdot - 1) + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot - 1 + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.1.7

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 11.2.2

Associez les fractions.

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Étape 11.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 5}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{2}$

Étape 11.2.2.2.2

Divisez $4$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8}{{(3 (\frac{5}{6}) - 2)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{8}{{(3 \frac{5}{3 (2)} - 2)}^{3}}$

Étape 13.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{{(3 \frac{5}{3 \cdot 2} - 2)}^{3}}$

Étape 13.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} - 2)}^{3}}$

Étape 13.1.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Étape 13.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{{(\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Étape 13.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8}{{(\frac{5 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Étape 13.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{8}{{(\frac{5 - 4}{2})}^{3}}$

Étape 13.1.5.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$\frac{8}{{(\frac{1}{2})}^{3}}$

Étape 13.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{\frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Étape 13.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8}{\frac{1}{2^{3}}}$

Étape 13.1.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8}{\frac{1}{8}}$

Étape 13.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$8 \cdot 8$

Étape 13.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$64$

Étape 14

$x = \frac{5}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5}{6}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5}{6}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{6^{2}}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{6}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{3 (2)}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{3 (\frac{5}{3 \cdot 2}) - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} - 2} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{5 - 4}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.2.5.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{\frac{25}{36}}{\frac{1}{2}} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{36} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{2 (18)} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{2 \cdot 18} \cdot 2 + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + 5 (\frac{5}{6})$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $5 (\frac{5}{6})$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Associez $5$ et $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{5 \cdot 5}{6}$

Étape 15.2.1.5.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25}{6}$

Étape 15.2.2

Pour écrire $\frac{25}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25}{6} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 15.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $\frac{25}{6}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25 \cdot 3}{6 \cdot 3}$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{18} + \frac{25 \cdot 3}{18}$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 25 \cdot 3}{18}$

Étape 15.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.1

Multipliez $25$ par $3$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 + 75}{18}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $25$ et $75$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{100}{18}$

Étape 15.2.6

Annulez le facteur commun à $100$ et $18$ .

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Étape 15.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 (50)}{18}$

Étape 15.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 9}$

Étape 15.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 9}$

Étape 15.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{50}{9}$

Étape 15.2.7

La réponse finale est $\frac{50}{9}$ .

$y = \frac{50}{9}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 2} + 5 x$ .

$(\frac{1}{2}, 2)$ est un maximum local

$(\frac{5}{6}, \frac{50}{9})$ est un minimum local

Étape 17