Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos^{3} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (x)$ .

$3 \cdot \sin (x) \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.6

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.7

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.10

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos (x)$

Étape 1.11

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.11.1

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 1.11.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{3} (x) \cos^{1} (x)$

Étape 1.11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + {\cos (x)}^{3 + 1}$

Étape 1.11.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Étape 1.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{2} (x)$ et $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin^{2} (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.7.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos (x) \cos^{2} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 3 ({\cos (x)}^{1 + 2} (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 3 (\cos^{3} (x) (2 \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $\cos^{3} (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cdot (\cos^{3} (x) \sin (x)) + \sin^{2} (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.10

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.10.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.10.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.10.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin (x) \sin^{2} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 2} (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.2.10.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + \frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x) + \sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 3 (2 \cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) \sin (x)) - 3 (\sin^{3} (x) (- 2 \cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 (\sin^{3} (x) (\cos (x))) - 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 2.4.2.3

Soustrayez $4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ de $- 6 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{3} (x) \sin (x) + 6 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) = 0$

Étape 4

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{4} (x) = 0$

Étape 4.2

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{4} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Étape 4.3

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 6

Définissez $\cos^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos^{2} (x)$ égal à $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 6.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.7

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 7

Définissez $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ égal à $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Remplacez le $- 3 \sin^{2} (x)$ par $- 3 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 3 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \cdot 1 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 - 3 (- \cos^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 3 + 3 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.2.3

Additionnez $3 \cos^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.2.4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$4 \cos^{2} (x) - 3 = 0$

Étape 7.2.5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Étape 7.2.6

Divisez chaque terme dans $4 \cos^{2} (x) = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.2.6.1

Divisez chaque terme dans $4 \cos^{2} (x) = 3$ par $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 7.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 7.2.6.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 7.2.7

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 7.2.8

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 7.2.8.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 7.2.8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.8.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 7.2.8.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.9.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7.2.11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.11.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 7.2.11.3

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.11.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 7.2.11.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.11.4.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.11.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.11.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.2.11.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.11.4.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 7.2.11.4.3.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 7.2.11.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

Étape 7.2.12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 7.2.12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7.2.12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.12.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2.12.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2.12.4

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 7.2.12.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2.12.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.12.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2.12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 7.2.12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.12.4.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 7.2.12.4.3.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 7.2.12.5

La solution de l’équation est $x = \frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 7.2.13

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 10 \cos^{3} (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 10 \cdot 0^{3} \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 10 \cdot 0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$0 \sin (\frac{π}{2}) + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 6 \sin^{3} (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 6 \cdot 1^{3} \cos (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 6 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.8

Multipliez $6$ par $1$ .

$0 + 6 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.9

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 + 6 \cdot 0$

Étape 10.1.10

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 10.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}) \cup (\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6}) \cup (\frac{11 π}{6}, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{6})$ dans la dérivée première $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - 3 \cos^{2} (0) \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f' (0) = - 3 \cdot (1^{2} \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Étape 11.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (0) = - 3 \cdot (1 \sin^{2} (0)) + \cos^{4} (0)$

Étape 11.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (0) = - 3 \sin^{2} (0) + \cos^{4} (0)$

Étape 11.2.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0^{2} + \cos^{4} (0)$

Étape 11.2.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + \cos^{4} (0)$

Étape 11.2.2.1.6

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + \cos^{4} (0)$

Étape 11.2.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f' (0) = 0 + 1^{4}$

Étape 11.2.2.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (0) = 0 + 1$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = 1$

Étape 11.2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ dans la dérivée première $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 3 \cos^{2} (1) \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.2.1.1

Évaluez $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 3 \cdot ({0.5403023}^{2} \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Étape 11.3.2.1.2

Élevez $0.5403023$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = - 3 \cdot (0.29192658 \sin^{2} (1)) + \cos^{4} (1)$

Étape 11.3.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0.29192658$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \sin^{2} (1) + \cos^{4} (1)$

Étape 11.3.2.1.4

Évaluez $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot {0.84147098}^{2} + \cos^{4} (1)$

Étape 11.3.2.1.5

Élevez $0.84147098$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = - 0.87577974 \cdot 0.70807341 + \cos^{4} (1)$

Étape 11.3.2.1.6

Multipliez $- 0.87577974$ par $0.70807341$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + \cos^{4} (1)$

Étape 11.3.2.1.7

Évaluez $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + {0.5403023}^{4}$

Étape 11.3.2.1.8

Élevez $0.5403023$ à la puissance $4$ .

$f' (1) = - 0.62011635 + 0.08522112$

Étape 11.3.2.2

Additionnez $- 0.62011635$ et $0.08522112$ .

$f' (1) = - 0.53489522$

Étape 11.3.2.3

La réponse finale est $- 0.53489522$ .

$- 0.53489522$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ dans la dérivée première $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 3 \cos^{2} (2) \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.2.1.1

Évaluez $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 3 {(- 0.41614683)}^{2} \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Étape 11.4.2.1.2

Élevez $- 0.41614683$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot (0.17317818 \sin^{2} (2)) + \cos^{4} (2)$

Étape 11.4.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0.17317818$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \sin^{2} (2) + \cos^{4} (2)$

Étape 11.4.2.1.4

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot {0.90929742}^{2} + \cos^{4} (2)$

Étape 11.4.2.1.5

Élevez $0.90929742$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - 0.51953456 \cdot 0.82682181 + \cos^{4} (2)$

Étape 11.4.2.1.6

Multipliez $- 0.51953456$ par $0.82682181$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + \cos^{4} (2)$

Étape 11.4.2.1.7

Évaluez $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + {(- 0.41614683)}^{4}$

Étape 11.4.2.1.8

Élevez $- 0.41614683$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = - 0.42956251 + 0.02999068$

Étape 11.4.2.2

Additionnez $- 0.42956251$ et $0.02999068$ .

$f' (2) = - 0.39957182$

Étape 11.4.2.3

La réponse finale est $- 0.39957182$ .

$- 0.39957182$

Étape 11.5

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6})$ dans la dérivée première $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - 3 \cos^{2} (3) \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Étape 11.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.2.1.1

Évaluez $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 3 {(- 0.98999249)}^{2} \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Étape 11.5.2.1.2

Élevez $- 0.98999249$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot (0.98008514 \sin^{2} (3)) + \cos^{4} (3)$

Étape 11.5.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0.98008514$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \sin^{2} (3) + \cos^{4} (3)$

Étape 11.5.2.1.4

Évaluez $\sin (3)$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot {0.14112}^{2} + \cos^{4} (3)$

Étape 11.5.2.1.5

Élevez $0.14112$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = - 2.94025542 \cdot 0.01991485 + \cos^{4} (3)$

Étape 11.5.2.1.6

Multipliez $- 2.94025542$ par $0.01991485$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + \cos^{4} (3)$

Étape 11.5.2.1.7

Évaluez $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + {(- 0.98999249)}^{4}$

Étape 11.5.2.1.8

Élevez $- 0.98999249$ à la puissance $4$ .

$f' (3) = - 0.05855476 + 0.96056688$

Étape 11.5.2.2

Additionnez $- 0.05855476$ et $0.96056688$ .

$f' (3) = 0.90201212$

Étape 11.5.2.3

La réponse finale est $0.90201212$ .

$0.90201212$

Étape 11.6

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ dans la dérivée première $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = - 3 \cos^{2} (4) \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Étape 11.6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.6.2.1.1

Évaluez $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 3 {(- 0.65364362)}^{2} \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Étape 11.6.2.1.2

Élevez $- 0.65364362$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = - 3 \cdot (0.42724998 \sin^{2} (4)) + \cos^{4} (4)$

Étape 11.6.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0.42724998$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \sin^{2} (4) + \cos^{4} (4)$

Étape 11.6.2.1.4

Évaluez $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 1.28174994 {(- 0.75680249)}^{2} + \cos^{4} (4)$

Étape 11.6.2.1.5

Élevez $- 0.75680249$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = - 1.28174994 \cdot 0.57275001 + \cos^{4} (4)$

Étape 11.6.2.1.6

Multipliez $- 1.28174994$ par $0.57275001$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + \cos^{4} (4)$

Étape 11.6.2.1.7

Évaluez $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + {(- 0.65364362)}^{4}$

Étape 11.6.2.1.8

Élevez $- 0.65364362$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = - 0.7341223 + 0.18254254$

Étape 11.6.2.2

Additionnez $- 0.7341223$ et $0.18254254$ .

$f' (4) = - 0.55157975$

Étape 11.6.2.3

La réponse finale est $- 0.55157975$ .

$- 0.55157975$

Étape 11.7

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(\frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6})$ dans la dérivée première $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.7.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = - 3 \cos^{2} (5) \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Étape 11.7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.7.2.1.1

Évaluez $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 3 \cdot ({0.28366218}^{2} \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Étape 11.7.2.1.2

Élevez $0.28366218$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot (0.08046423 \sin^{2} (5)) + \cos^{4} (5)$

Étape 11.7.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0.08046423$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \sin^{2} (5) + \cos^{4} (5)$

Étape 11.7.2.1.4

Évaluez $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.2413927 {(- 0.95892427)}^{2} + \cos^{4} (5)$

Étape 11.7.2.1.5

Élevez $- 0.95892427$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - 0.2413927 \cdot 0.91953576 + \cos^{4} (5)$

Étape 11.7.2.1.6

Multipliez $- 0.2413927$ par $0.91953576$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + \cos^{4} (5)$

Étape 11.7.2.1.7

Évaluez $\cos (5)$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + {0.28366218}^{4}$

Étape 11.7.2.1.8

Élevez $0.28366218$ à la puissance $4$ .

$f' (5) = - 0.22196922 + 0.00647449$

Étape 11.7.2.2

Additionnez $- 0.22196922$ et $0.00647449$ .

$f' (5) = - 0.21549473$

Étape 11.7.2.3

La réponse finale est $- 0.21549473$ .

$- 0.21549473$

Étape 11.8

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(\frac{11 π}{6}, \infty)$ dans la dérivée première $- 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.8.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = - 3 \cos^{2} (8) \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Étape 11.8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.8.2.1.1

Évaluez $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 3 {(- 0.14550003)}^{2} \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Étape 11.8.2.1.2

Élevez $- 0.14550003$ à la puissance $2$ .

$f' (8) = - 3 \cdot (0.02117025 \sin^{2} (8)) + \cos^{4} (8)$

Étape 11.8.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0.02117025$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \sin^{2} (8) + \cos^{4} (8)$

Étape 11.8.2.1.4

Évaluez $\sin (8)$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot {0.98935824}^{2} + \cos^{4} (8)$

Étape 11.8.2.1.5

Élevez $0.98935824$ à la puissance $2$ .

$f' (8) = - 0.06351077 \cdot 0.97882974 + \cos^{4} (8)$

Étape 11.8.2.1.6

Multipliez $- 0.06351077$ par $0.97882974$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + \cos^{4} (8)$

Étape 11.8.2.1.7

Évaluez $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + {(- 0.14550003)}^{4}$

Étape 11.8.2.1.8

Élevez $- 0.14550003$ à la puissance $4$ .

$f' (8) = - 0.06216623 + 0.00044817$

Étape 11.8.2.2

Additionnez $- 0.06216623$ et $0.00044817$ .

$f' (8) = - 0.06171805$

Étape 11.8.2.3

La réponse finale est $- 0.06171805$ .

$- 0.06171805$

Étape 11.9

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{π}{6}$ , $x = \frac{π}{6}$ est un maximum local.

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

Étape 11.10

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = \frac{π}{2}$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.11

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{5 π}{6}$ , $x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local.

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local

Étape 11.12

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{7 π}{6}$ , $x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local.

$x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local

Étape 11.13

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = \frac{3 π}{2}$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.14

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{5 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local

Étape 12