Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (2 x) + 2 \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (2 x) + 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 \cos (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 \cos (x) = 0$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 5

Factorisez $4 \cos^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cos^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 \cos (x) = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x)) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 1) = 0$

Étape 5.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 5.2.1.2.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$2 (2 \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) \cos (x) - 1) = 0$

Étape 5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 5.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) - 1) + 1 (2 \cos (x) - 1)) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 \cos (x) - 1$ .

$2 ((2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 7

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 7.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 7.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 7.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 7.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 7.2.7

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Étape 8

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $\cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 8.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 8.2.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 8.2.5

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 8.2.6

La solution de l’équation est $x = π$ .

$x = π, π$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, π$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{3})) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 11.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 4 \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 11.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 11.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 11.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 11.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 11.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 11.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 11.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \sqrt{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 11.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{3} - 1 \sqrt{3}$

Étape 11.1.7

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}$

Étape 11.2

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Étape 12

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \sin (2 (\frac{π}{3})) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 13.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 13.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 13.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 13.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 13.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}$

Étape 13.2.2

Pour écrire $\sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 13.2.3

Associez les fractions.

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Étape 13.2.3.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 13.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 13.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$

Étape 13.2.4.2

Additionnez $\sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 13.2.5

La réponse finale est $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \sin (2 (\frac{5 π}{3})) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $2 (\frac{5 π}{3})$ .

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Étape 15.1.1.1

Associez $2$ et $\frac{5 π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 (5 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 4 \sin (\frac{10 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 4 \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{3})) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 (- \sqrt{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \sqrt{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 15.1.7

$2 \sqrt{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 15.1.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 15.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$2 \sqrt{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 15.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 15.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 15.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 15.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3}$

Étape 15.1.11

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Étape 15.2

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Étape 16

$x = \frac{5 π}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{3}$ est un minimum local

Étape 17

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{3}$ .

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Étape 17.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (2 (\frac{5 π}{3})) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 17.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 17.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1.1

Multipliez $2 (\frac{5 π}{3})$ .

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Étape 17.2.1.1.1

Associez $2$ et $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (\frac{2 (5 π)}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 17.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (\frac{10 π}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 17.2.1.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 17.2.1.3

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 17.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 17.2.1.5

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 17.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 17.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 17.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 17.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

Étape 17.2.2

Pour écrire $- \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 17.2.3

Associez les fractions.

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Étape 17.2.3.1

Associez $- \sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 17.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 17.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.4.2

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.2.6

La réponse finale est $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \sin (2 (π)) - 2 \sin (π)$

Étape 19

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 4 \sin (0) - 2 \sin (π)$

Étape 19.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 4 \cdot 0 - 2 \sin (π)$

Étape 19.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 - 2 \sin (π)$

Étape 19.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$0 - 2 \sin (0)$

Étape 19.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Étape 19.1.6

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 19.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 20

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 20.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, π) \cup (π, \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}, \infty)$

Étape 20.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{3})$ dans la dérivée première $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 20.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 2 \cos (2 (0)) + 2 \cos (0)$

Étape 20.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f' (0) = 2 \cos (0) + 2 \cos (0)$

Étape 20.2.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f' (0) = 2 \cdot 1 + 2 \cos (0)$

Étape 20.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (0) = 2 + 2 \cos (0)$

Étape 20.2.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f' (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Étape 20.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (0) = 2 + 2$

Étape 20.2.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (0) = 4$

Étape 20.2.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 20.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(\frac{π}{3}, π)$ dans la dérivée première $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 20.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 2 \cos (2 (2)) + 2 \cos (2)$

Étape 20.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = 2 \cos (4) + 2 \cos (2)$

Étape 20.3.2.1.2

Évaluez $\cos (4)$ .

$f' (2) = 2 \cdot - 0.65364362 + 2 \cos (2)$

Étape 20.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.30728724 + 2 \cos (2)$

Étape 20.3.2.1.4

Évaluez $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 1.30728724 + 2 \cdot - 0.41614683$

Étape 20.3.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 1.30728724 - 0.83229367$

Étape 20.3.2.2

Soustrayez $0.83229367$ de $- 1.30728724$ .

$f' (2) = - 2.13958091$

Étape 20.3.2.3

La réponse finale est $- 2.13958091$ .

$- 2.13958091$

Étape 20.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(π, \frac{5 π}{3})$ dans la dérivée première $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 20.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 2 \cos (2 (4)) + 2 \cos (4)$

Étape 20.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (4) = 2 \cos (8) + 2 \cos (4)$

Étape 20.4.2.1.2

Évaluez $\cos (8)$ .

$f' (4) = 2 \cdot - 0.14550003 + 2 \cos (4)$

Étape 20.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 0.14550003$ .

$f' (4) = - 0.29100006 + 2 \cos (4)$

Étape 20.4.2.1.4

Évaluez $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 0.29100006 + 2 \cdot - 0.65364362$

Étape 20.4.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 0.65364362$ .

$f' (4) = - 0.29100006 - 1.30728724$

Étape 20.4.2.2

Soustrayez $1.30728724$ de $- 0.29100006$ .

$f' (4) = - 1.5982873$

Étape 20.4.2.3

La réponse finale est $- 1.5982873$ .

$- 1.5982873$

Étape 20.5

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ dans la dérivée première $2 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.5.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = 2 \cos (2 (8)) + 2 \cos (8)$

Étape 20.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.5.2.1.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$f' (8) = 2 \cos (16) + 2 \cos (8)$

Étape 20.5.2.1.2

Évaluez $\cos (16)$ .

$f' (8) = 2 \cdot - 0.95765948 + 2 \cos (8)$

Étape 20.5.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 0.95765948$ .

$f' (8) = - 1.91531896 + 2 \cos (8)$

Étape 20.5.2.1.4

Évaluez $\cos (8)$ .

$f' (8) = - 1.91531896 + 2 \cdot - 0.14550003$

Étape 20.5.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 0.14550003$ .

$f' (8) = - 1.91531896 - 0.29100006$

Étape 20.5.2.2

Soustrayez $0.29100006$ de $- 1.91531896$ .

$f' (8) = - 2.20631902$

Étape 20.5.2.3

La réponse finale est $- 2.20631902$ .

$- 2.20631902$

Étape 20.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{π}{3}$ , $x = \frac{π}{3}$ est un maximum local.

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local

Étape 20.7

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = π$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 20.8

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin (2 x) + 2 \sin (x)$ .

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local

Étape 21