Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan (x) - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 1 + \sec^{2} (x)$

Étape 1.4.2

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Étape 1.4.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\tan^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Étape 2.3

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\tan^{2} (x) = 0$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\tan (x) = \pm 0$

Étape 5.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 6

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 9

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

Étape 12.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \tan (0)$

Étape 12.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$2 \cdot 0$

Étape 12.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$

Étape 13

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 14