Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Étape 1.2.2

Réorganisez les facteurs de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \cos (x^{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $\cos (x^{2})$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $\cos (x^{2})$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x^{2})$ égal à $0$ .

$\cos (x^{2}) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x^{2}) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez $x^{2}$ par $u$ .

$\cos (u) = 0$

Étape 6.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $u$ de l’intérieur du cosinus.

$u = \arccos (0)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.5

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.5.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.5.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.6

La solution de l’équation est $u = \frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.7

Remplacer $u$ par $x^{2}$ et résoudre $x^{2} = \frac{π}{2}$

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Étape 6.2.7.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

Étape 6.2.7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ .

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Étape 6.2.7.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{π}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2.7.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2.7.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.7.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.2.7.2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.2.7.2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.2.7.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.2.7.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.2.7.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.2.7.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.2.7.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.2.7.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.7.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.7.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.7.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.2.7.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.7.2.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Étape 6.2.7.2.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Étape 6.2.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Étape 6.2.7.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Étape 6.2.7.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Étape 6.2.8

Remplacer $u$ par $x^{2}$ et résoudre $x^{2} = \frac{3 π}{2}$

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Étape 6.2.8.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Étape 6.2.8.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

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Étape 6.2.8.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2.8.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.2.8.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.8.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.2.8.2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.2.8.2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.2.8.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.2.8.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.2.8.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.2.8.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.2.8.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.2.8.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.8.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.8.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.8.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.2.8.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.2.8.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.8.2.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Étape 6.2.8.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 6.2.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.8.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 6.2.8.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 6.2.8.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x \cos (x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Étape 9.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Étape 9.1.5

Multipliez $0$ par $0$ .

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Étape 9.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Étape 9.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 9.1.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Étape 11.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.2

Réécrivez ${\sqrt{6 π}}^{2}$ comme $6 π$ .

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Étape 13.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 π}$ comme ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.2.5

Simplifiez

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.7

Réécrivez ${\sqrt{6 π}}^{2}$ comme $6 π$ .

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Étape 13.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 π}$ comme ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.7.5

Simplifiez

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.9

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.10

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.11

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.13

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 13.1.14

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Étape 13.1.15

Réécrivez ${\sqrt{6 π}}^{2}$ comme $6 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.15.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 π}$ comme ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Étape 13.1.15.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Étape 13.1.15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 13.1.15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.15.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 13.1.15.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Étape 13.1.15.5

Simplifiez

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Étape 13.1.16

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Étape 13.1.17

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.17.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Étape 13.1.17.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Étape 13.1.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Étape 13.1.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.18

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 13.1.19

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Étape 13.1.20

Multipliez $2$ par $0$ .

$6 π + 0$

Étape 13.2

Additionnez $6 π$ et $0$ .

$6 π$

Étape 14

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Étape 15.2.2

Réécrivez ${\sqrt{6 π}}^{2}$ comme $6 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 π}$ comme ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Étape 15.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Étape 15.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 15.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 15.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Étape 15.2.2.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Étape 15.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Étape 15.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Étape 15.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Étape 15.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Étape 15.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 15.2.5

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 15.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Étape 15.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Étape 15.2.8

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.4

Réécrivez ${\sqrt{6 π}}^{2}$ comme $6 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 π}$ comme ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.4.5

Simplifiez

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.7

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.10

Multipliez $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.11

Réécrivez ${\sqrt{6 π}}^{2}$ comme $6 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 π}$ comme ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.11.5

Simplifiez

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.13

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.14

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.15

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.17

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.18

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.18.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 17.1.18.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Étape 17.1.19

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Étape 17.1.20

Multipliez $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Étape 17.1.21

Réécrivez ${\sqrt{6 π}}^{2}$ comme $6 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.21.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 π}$ comme ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Étape 17.1.21.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Étape 17.1.21.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 17.1.21.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.21.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 17.1.21.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Étape 17.1.21.5

Simplifiez

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Étape 17.1.22

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Étape 17.1.23

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.23.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Étape 17.1.23.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.23.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Étape 17.1.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Étape 17.1.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.1.24

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 17.1.25

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Étape 17.1.26

Multipliez $2$ par $0$ .

$6 π + 0$

Étape 17.2

Additionnez $6 π$ et $0$ .

$6 π$

Étape 18

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Étape 19.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Étape 19.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Étape 19.2.2.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Étape 19.2.3

Réécrivez ${\sqrt{6 π}}^{2}$ comme $6 π$ .

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Étape 19.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 π}$ comme ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Étape 19.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Étape 19.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 19.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Étape 19.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Étape 19.2.3.5

Simplifiez

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Étape 19.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Étape 19.2.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 19.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Étape 19.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Étape 19.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Étape 19.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.6

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 19.2.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Étape 19.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Étape 19.2.9

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin (x^{2})$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ est un minimum local

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ est un minimum local

Étape 21