Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sec (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (2 x) \tan (2 x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (2 x)$ et $g (x) = \tan (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\tan (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.4

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.6

Différenciez.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.6.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{3} (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.7.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.8

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.9

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.12

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.14.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.14.2

Déplacez $2$ à gauche de $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Étape 2.15.2

Associez des termes.

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Étape 2.15.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Étape 2.15.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Étape 2.15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

$\tan (2 x) = 0$

Étape 5

Définissez $\sec (2 x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sec (2 x)$ égal à $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Étape 5.2

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 6

Définissez $\tan (2 x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\tan (2 x)$ égal à $0$ .

$\tan (2 x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\tan (2 x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$2 x = \arctan (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 6.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 6.2.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = π + 0$

Étape 6.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.5.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 6.2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.6

La solution de l’équation est $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sec (2 x) \tan (2 x) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{π}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 \tan^{2} (2 (0)) \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$4 \tan^{2} (0) \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Étape 9.1.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Étape 9.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Étape 9.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Étape 9.1.6

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Étape 9.1.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Étape 9.1.8

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 4 \sec^{3} (0)$

Étape 9.1.9

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 + 4 \cdot 1^{3}$

Étape 9.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 4 \cdot 1$

Étape 9.1.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$0 + 4$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sec (2 (0))$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \sec (0)$

Étape 11.2.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 \tan^{2} (2 (\frac{π}{2})) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \tan^{2} (2 \frac{π}{2}) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 \tan^{2} (π) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$4 {(- \tan (0))}^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$4 {(- 0)}^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.6

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$0 \sec (2 \frac{π}{2}) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.8

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$0 (- \sec (0)) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.9

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.10

Multipliez $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 13.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 \cdot - 1 + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.10.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 13.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 4 \sec^{3} (2 \frac{π}{2})$

Étape 13.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 4 \sec^{3} (π)$

Étape 13.1.12

$0 + 4 {(- \sec (0))}^{3}$

Étape 13.1.13

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 + 4 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 13.1.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 4 {(- 1)}^{3}$

Étape 13.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 + 4 \cdot - 1$

Étape 13.1.16

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$0 - 4$

Étape 13.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 14

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 15.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (π)$

Étape 15.2.2

$f (\frac{π}{2}) = - \sec (0)$

Étape 15.2.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Étape 15.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1$

Étape 15.2.5

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sec (2 x)$ .

$(0, 1)$ est un minimum local

$(\frac{π}{2}, - 1)$ est un maximum local

Étape 17