Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = p (x^{2} + 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $p$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $p (x^{2} + 2)$ par rapport à $x$ est $p \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$ .

$p \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$p (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$p (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$p (2 x + 0)$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$p (2 x)$

Étape 1.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $p$ .

$2 p x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2 p$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 p x$ par rapport à $x$ est $2 p \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 p \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 p \cdot 1$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 p$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 p x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $p$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $p (x^{2} + 2)$ par rapport à $x$ est $p \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$ .

$p \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$p (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$p (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 4.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$p (2 x + 0)$

Étape 4.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$p (2 x)$

Étape 4.1.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $p$ .

$f' (x) = 2 p x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 p x$ .

$2 p x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 p x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 p x = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 p x = 0$ par $2 p$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 p x = 0$ par $2 p$ .

$\frac{2 p x}{2 p} = \frac{0}{2 p}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 p x}{2 p} = \frac{0}{2 p}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p x}{p} = \frac{0}{2 p}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $p$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p x}{p} = \frac{0}{2 p}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2 p}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 p}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 p$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 (p)}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 p}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{0}{p}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $0$ par $p$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 p$

Étape 9

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 10