Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{x (85 - x)}{60}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $\frac{1}{60}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x (85 - x)}{60}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{60} \frac{d}{d x} [x (85 - x)]$ .

$\frac{1}{60} \frac{d}{d x} [x (85 - x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 85 - x$ .

$\frac{1}{60} (x \frac{d}{d x} [85 - x] + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $85 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [85] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{60} (x (\frac{d}{d x} [85] + \frac{d}{d x} [- x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Comme $85$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $85$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{60} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{60} (x \frac{d}{d x} [- x] + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{60} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{60} (x (- 1 \cdot 1) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{60} (x \cdot - 1 + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{60} (- 1 \cdot x + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{60} (- x + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{60} (- x + (85 - x) \cdot 1)$

Étape 1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.1

Multipliez $85 - x$ par $1$ .

$\frac{1}{60} (- x + 85 - x)$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{60} (- 2 x + 85)$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{60} (- 2 x) + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{60}$ .

$\frac{- 2}{60} x + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 1.4.2.2

Associez $\frac{- 2}{60}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{60} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $60$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{60} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 1.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $60$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (30)} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 1.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 1.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 1.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 1.4.2.5

Associez $\frac{1}{60}$ et $85$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{85}{60}$

Étape 1.4.2.6

Annulez le facteur commun à $85$ et $60$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $85$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{5 (17)}{60}$

Étape 1.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $60$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{5 \cdot 17}{5 \cdot 12}$

Étape 1.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x}{30} + \frac{5 \cdot 17}{5 \cdot 12}$

Étape 1.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{30}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{12}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{30}) + \frac{d}{d x} (\frac{17}{12})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{30}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{1}{30}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{30}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{30} \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{17}{12})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{17}{12})$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30} + \frac{d}{d x} (\frac{17}{12})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $\frac{17}{12}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{17}{12}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{1}{30}$ et $0$ .

$g'' (x) = - \frac{1}{30}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{x}{30} + \frac{17}{12} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Comme $\frac{1}{60}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x (85 - x)}{60}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{60} \frac{d}{d x} [x (85 - x)]$ .

$\frac{1}{60} \frac{d}{d x} [x (85 - x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 85 - x$ .

$\frac{1}{60} (x \frac{d}{d x} [85 - x] + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $85 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [85] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{60} (x (\frac{d}{d x} [85] + \frac{d}{d x} [- x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.2

Comme $85$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $85$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{60} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{60} (x \frac{d}{d x} [- x] + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{60} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{60} (x (- 1 \cdot 1) + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{60} (x \cdot - 1 + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{60} (- 1 \cdot x + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{60} (- x + (85 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{60} (- x + (85 - x) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.8.1

Multipliez $85 - x$ par $1$ .

$\frac{1}{60} (- x + 85 - x)$

Étape 4.1.3.8.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{60} (- 2 x + 85)$

Étape 4.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{60} (- 2 x) + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{60}$ .

$\frac{- 2}{60} x + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 4.1.4.2.2

Associez $\frac{- 2}{60}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{60} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 4.1.4.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $60$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{60} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 4.1.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $60$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (30)} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 4.1.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 4.1.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 4.1.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{30} + \frac{1}{60} \cdot 85$

Étape 4.1.4.2.5

Associez $\frac{1}{60}$ et $85$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{85}{60}$

Étape 4.1.4.2.6

Annulez le facteur commun à $85$ et $60$ .

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Étape 4.1.4.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $85$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{5 (17)}{60}$

Étape 4.1.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $60$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{5 \cdot 17}{5 \cdot 12}$

Étape 4.1.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x}{30} + \frac{5 \cdot 17}{5 \cdot 12}$

Étape 4.1.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = - \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{17}{12}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x}{30} + \frac{17}{12} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x}{30} + \frac{17}{12} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\frac{17}{12}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{30} = - \frac{17}{12}$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 30$ .

$- 30 (- \frac{x}{30}) = - 30 (- \frac{17}{12})$

Étape 5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez $- 30 (- \frac{x}{30})$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 5.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{30}$ dans le numérateur.

$- 30 \frac{- x}{30} = - 30 (- \frac{17}{12})$

Étape 5.4.1.1.1.2

Factorisez $30$ à partir de $- 30$ .

$30 (- 1) \frac{- x}{30} = - 30 (- \frac{17}{12})$

Étape 5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$30 \cdot - 1 \frac{- x}{30} = - 30 (- \frac{17}{12})$

Étape 5.4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - x = - 30 (- \frac{17}{12})$

Étape 5.4.1.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - 30 (- \frac{17}{12})$

Étape 5.4.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - 30 (- \frac{17}{12})$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $- 30 (- \frac{17}{12})$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{17}{12}$ dans le numérateur.

$x = - 30 (\frac{- 17}{12})$

Étape 5.4.2.1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 30$ .

$x = 6 (- 5) \frac{- 17}{12}$

Étape 5.4.2.1.1.3

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$x = 6 \cdot - 5 \frac{- 17}{6 \cdot 2}$

Étape 5.4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$x = 6 \cdot - 5 \frac{- 17}{6 \cdot 2}$

Étape 5.4.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$x = - 5 (\frac{- 17}{2})$

Étape 5.4.2.1.2

Associez $- 5$ et $\frac{- 17}{2}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot - 17}{2}$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 17$ .

$x = \frac{85}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{85}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{85}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{1}{30}$

Étape 9

$x = \frac{85}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{85}{2}$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{85}{2}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{85}{2}$ dans l’expression.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{(\frac{85}{2}) (85 - (\frac{85}{2}))}{60}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun à $85 - (\frac{85}{2})$ et $60$ .

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Étape 10.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $(\frac{85}{2}) (85 - (\frac{85}{2}))$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{5 ((\frac{17}{2}) (85 - (\frac{85}{2})))}{60}$

Étape 10.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $60$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{5 ((\frac{17}{2}) (85 - (\frac{85}{2})))}{5 (12)}$

Étape 10.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{5 ((\frac{17}{2}) (85 - (\frac{85}{2})))}{5 \cdot 12}$

Étape 10.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{(\frac{17}{2}) (85 - (\frac{85}{2}))}{12}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.2.1

Pour écrire $85$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot (85 \cdot \frac{2}{2} - \frac{85}{2})}{12}$

Étape 10.2.2.2

Associez $85$ et $\frac{2}{2}$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot (\frac{85 \cdot 2}{2} - \frac{85}{2})}{12}$

Étape 10.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot \frac{85 \cdot 2 - 85}{2}}{12}$

Étape 10.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.2.4.1

Multipliez $85$ par $2$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot \frac{170 - 85}{2}}{12}$

Étape 10.2.2.4.2

Soustrayez $85$ de $170$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17}{2} \cdot \frac{85}{2}}{12}$

Étape 10.2.3

Associez les fractions.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $\frac{17}{2}$ par $\frac{85}{2}$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{17 \cdot 85}{2 \cdot 2}}{12}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez.

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Étape 10.2.3.2.1

Multipliez $17$ par $85$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{1445}{2 \cdot 2}}{12}$

Étape 10.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{\frac{1445}{4}}{12}$

Étape 10.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$g (\frac{85}{2}) = \frac{1445}{4} \cdot \frac{1}{12}$

Étape 10.2.5

Multipliez $\frac{1445}{4} \cdot \frac{1}{12}$ .

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Étape 10.2.5.1

Multipliez $\frac{1445}{4}$ par $\frac{1}{12}$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{1445}{4 \cdot 12}$

Étape 10.2.5.2

Multipliez $4$ par $12$ .

$g (\frac{85}{2}) = \frac{1445}{48}$

Étape 10.2.6

La réponse finale est $\frac{1445}{48}$ .

$y = \frac{1445}{48}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = \frac{x (85 - x)}{60}$ .

$(\frac{85}{2}, \frac{1445}{48})$ est un maximum local

Étape 12