Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ par $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot \frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ par $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 \sqrt{2 p} \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.2

Déplacez $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (\sqrt{2 p} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.3

Élevez $\sqrt{2 p}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.4

Élevez $\sqrt{2 p}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} {\sqrt{2 p}}^{1})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{1 + 1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2 p}}^{2}$ comme $2 p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 p}$ comme ${(2 p)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {({(2 p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.2.7.5

Simplifiez

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (2 p)} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.3

Multipliez $115$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 512}{115}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{115^{2}})]$

Étape 1.5.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Élevez $115$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225})]$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 13225}]$

Étape 1.5.2.3

Déplacez $13225$ à gauche de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 \cdot e^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.5.2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2 p}}{230 p}$ par $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{230 p (13225 e^{\frac{1}{2}})}]$

Étape 1.5.2.5

Multipliez $13225$ par $230$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.5.3

Comme $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x - 512)}^{2}]$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x - 512)}^{2}]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 512$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 u \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 (x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 1.7

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2 p}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 1.8

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $3041750 p e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 1.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 1.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 512$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512]$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + \frac{d}{d x} [- 512])$

Étape 1.11

Comme $- 512$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 512$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + 0)$

Étape 1.12

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) \cdot 1$

Étape 1.12.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512)$

Étape 1.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} x + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Étape 1.13.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.2.1

Associez $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Étape 1.13.2.2

Associez $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ et $- 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} \cdot - 512}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.3

Déplacez $- 512$ à gauche de $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 512 \cdot \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} - \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.1.2

Comme $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$g'' (x) = 0 + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Additionnez $0$ et $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$g'' (x) = \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$g'' (x) = \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 e^{\frac{1}{2}} p}$

Étape 2.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 e^{\frac{1}{2}} p}$ .

$g'' (x) = \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ par $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot \frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ par $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 \sqrt{2 p} \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.2

Déplacez $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (\sqrt{2 p} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.3

Élevez $\sqrt{2 p}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} \sqrt{2 p})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.4

Élevez $\sqrt{2 p}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} {\sqrt{2 p}}^{1})} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{1 + 1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2 p}}^{2}$ comme $2 p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 p}$ comme ${(2 p)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {({(2 p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{1}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.2.7.5

Simplifiez

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{115 (2 p)} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.3

Multipliez $115$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 512}{115}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{115^{2}})]$

Étape 4.1.5.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.2.1

Élevez $115$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225})]$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 13225}]$

Étape 4.1.5.2.3

Déplacez $13225$ à gauche de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 \cdot e^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.5.2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2 p}}{230 p}$ par $\frac{{(x - 512)}^{2}}{13225 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{230 p (13225 e^{\frac{1}{2}})}]$

Étape 4.1.5.2.5

Multipliez $13225$ par $230$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 p} {(x - 512)}^{2}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.5.3

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x - 512)}^{2}]$

Étape 4.1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 512$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 4.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 u \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 4.1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} (2 (x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 4.1.7

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.1

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2 p}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 4.1.8

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $3041750 p e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p})}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 4.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2 p}}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 4.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} ((x - 512) \frac{d}{d x} [x - 512])$

Étape 4.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 512$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512]$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 512])$

Étape 4.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + \frac{d}{d x} [- 512])$

Étape 4.1.11

Comme $- 512$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 512$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) (1 + 0)$

Étape 4.1.12

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512) \cdot 1$

Étape 4.1.12.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} (x - 512)$

Étape 4.1.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} x + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Étape 4.1.13.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.13.2.1

Associez $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 512$

Étape 4.1.13.2.2

Associez $\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ et $- 512$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} \cdot - 512}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.3

Déplacez $- 512$ à gauche de $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 512 \cdot \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} - \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $\frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}} = \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$\sqrt{2 p} x = 512 \sqrt{2 p}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2 p} x = 512 \sqrt{2 p}$ par $\sqrt{2 p}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2 p} x = 512 \sqrt{2 p}$ par $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p} x}{\sqrt{2 p}} = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2 p}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2 p} x}{\sqrt{2 p}} = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2 p}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{512 \sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$

Étape 5.4.3.1.2

Divisez $512$ par $1$ .

$x = 512$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e^{1}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e^{1}}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p \sqrt{e^{1}}}$

Étape 6.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p \sqrt{e^{1}}}$

Étape 6.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e}} + \frac{\sqrt{2 p} x}{1520875 p \sqrt{e}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{512 \sqrt{2 p}}{1520875 p \sqrt{e}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1520875 p \sqrt{e} = 0$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $1520875 p \sqrt{e} = 0$ par $1520875 \sqrt{e}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $1520875 p \sqrt{e} = 0$ par $1520875 \sqrt{e}$ .

$\frac{1520875 p \sqrt{e}}{1520875 \sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1520875$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1520875 p \sqrt{e}}{1520875 \sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p \sqrt{e}}{\sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{e}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p \sqrt{e}}{\sqrt{e}} = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $p$ par $1$ .

$p = \frac{0}{1520875 \sqrt{e}}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $1520875$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1

Factorisez $1520875$ à partir de $0$ .

$p = \frac{1520875 (0)}{1520875 \sqrt{e}}$

Étape 6.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.2.1

Factorisez $1520875$ à partir de $1520875 \sqrt{e}$ .

$p = \frac{1520875 (0)}{1520875 (\sqrt{e})}$

Étape 6.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$p = \frac{1520875 \cdot 0}{1520875 \sqrt{e}}$

Étape 6.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$p = \frac{0}{\sqrt{e}}$

Étape 6.3.3.2

Divisez $0$ par $\sqrt{e}$ .

$p = 0$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 p}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 p < 0$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $2 p < 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $2 p < 0$ par $2$ .

$\frac{2 p}{2} < \frac{0}{2}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 p}{2} < \frac{0}{2}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $p$ par $1$ .

$p < \frac{0}{2}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$p < 0$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$p \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$p \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 512, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 512$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{\sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 10