Calcul infinitésimal Exemples

$F (x) = x + 4 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$1 + 4 (- \sin (x))$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$1 - 4 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$F'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$F'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$F'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$F'' (x) = 0 - 4 \cos (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $4 \cos (x)$ de $0$ .

$F'' (x) = - 4 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sin (x) = - 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin (x) = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin (x) = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Étape 9.3

Soustrayez $0.25268025$ de $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = 0.25268025$ .

$x = 0.25268025, 2.88891239$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.25268025$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \cos (0.25268025)$

Étape 12

$x = 0.25268025$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.25268025$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = 0.25268025$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $0.25268025$ dans l’expression.

$F (0.25268025) = (0.25268025) + 4 \cos (0.25268025)$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Additionnez $0.25268025$ et $4 \cos (0.25268025)$ .

$F (0.25268025) = 4.1256636$

Étape 13.2.2

La réponse finale est $4.1256636$ .

$y = 4.1256636$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2.88891239$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \cos (2.88891239)$

Étape 15

$x = 2.88891239$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2.88891239$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 2.88891239$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $2.88891239$ dans l’expression.

$F (2.88891239) = (2.88891239) + 4 \cos (2.88891239)$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Additionnez $2.88891239$ et $4 \cos (2.88891239)$ .

$F (2.88891239) = - 0.98407094$

Étape 16.2.2

La réponse finale est $- 0.98407094$ .

$y = - 0.98407094$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $F (x) = x + 4 \cos (x)$ .

$(0.25268025, 4.1256636)$ est un maximum local

$(2.88891239, - 0.98407094)$ est un minimum local

Étape 18