Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + 3 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$1 + 3 (- \sin (x))$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 - 3 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \cos (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $3 \cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 3 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - 3 \sin (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 \sin (x) = - 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 3 \sin (x) = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \sin (x) = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Étape 9.3

Soustrayez $0.3398369$ de $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = 0.3398369$ .

$x = 0.3398369, 2.80175574$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.3398369$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 3 \cos (0.3398369)$

Étape 12

$x = 0.3398369$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.3398369$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = 0.3398369$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $0.3398369$ dans l’expression.

$f (0.3398369) = (0.3398369) + 3 \cos (0.3398369)$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Additionnez $0.3398369$ et $3 \cos (0.3398369)$ .

$f (0.3398369) = 3.16826403$

Étape 13.2.2

La réponse finale est $3.16826403$ .

$y = 3.16826403$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2.80175574$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 3 \cos (2.80175574)$

Étape 15

$x = 2.80175574$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2.80175574$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 2.80175574$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $2.80175574$ dans l’expression.

$f (2.80175574) = (2.80175574) + 3 \cos (2.80175574)$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Additionnez $2.80175574$ et $3 \cos (2.80175574)$ .

$f (2.80175574) = - 0.02667138$

Étape 16.2.2

La réponse finale est $- 0.02667138$ .

$y = - 0.02667138$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + 3 \cos (x)$ .

$(0.3398369, 3.16826403)$ est un maximum local

$(2.80175574, - 0.02667138)$ est un minimum local

Étape 18