Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5 \ln (3 x - 9)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \ln (3 x - 9)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 1.2.6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Étape 1.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Étape 1.2.8

Additionnez $3$ et $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Étape 1.2.9

Associez $\frac{1}{3 x - 9}$ et $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Étape 1.2.10

Annulez le facteur commun à $3$ et $3 x - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Étape 1.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Étape 1.2.10.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Étape 1.2.10.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Étape 1.2.10.2.4

Annulez le facteur commun.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Étape 1.2.10.2.5

Réécrivez l’expression.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Étape 1.2.11

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Étape 1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Étape 1.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Étape 1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Étape 1.3.3

Soustrayez $5$ de $- 3$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 8$ et $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x - 3 - x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x - 3 - x - - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $- 3$ et $8$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5 \ln (3 x - 9)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \ln (3 x - 9)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 4.1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 4.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 4.1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 4.1.2.6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Étape 4.1.2.8

Additionnez $3$ et $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Étape 4.1.2.9

Associez $\frac{1}{3 x - 9}$ et $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Étape 4.1.2.10

Annulez le facteur commun à $3$ et $3 x - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Étape 4.1.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Étape 4.1.2.10.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Étape 4.1.2.10.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Étape 4.1.2.10.2.4

Annulez le facteur commun.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Étape 4.1.2.10.2.5

Réécrivez l’expression.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Étape 4.1.2.11

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Étape 4.1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Étape 4.1.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Étape 4.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Étape 4.1.3.3

Soustrayez $5$ de $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 8}{x - 3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x - 8}{x - 3}$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x - 8}{x - 3} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 8 = 0$

Étape 5.3

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 8}{x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 8$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{5}{{((8) - 3)}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Soustrayez $3$ de $8$ .

$\frac{5}{5^{2}}$

Étape 9.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{5}{25}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $5$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (1)}{25}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5}$

Étape 10

$x = 8$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 8$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = (8) - 5 \ln (3 (8) - 9)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (24 - 9)$

Étape 11.2.1.2

Soustrayez $9$ de $24$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (15)$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez $- 5 \ln (15)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$f (8) = 8 - \ln (15^{5})$

Étape 11.2.1.4

Élevez $15$ à la puissance $5$ .

$f (8) = 8 - \ln (759375)$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $8 - \ln (759375)$ .

$y = 8 - \ln (759375)$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$ .

$(8, 8 - \ln (759375))$ est un minimum local

Étape 13