Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - b \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - b \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- b \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Étape 1.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $b$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{b}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{b}{x}$ par rapport à $x$ est $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - b (- x^{- 2})$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 b x^{- 2}$

Étape 2.2.5

Multipliez $b$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 + b x^{- 2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + b (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1

Associez $b$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{b}{x^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{b}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{b}{x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - b \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- b \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 4.1.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$1 - b \frac{1}{x}$

Étape 4.1.2.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $b$ .

$f' (x) = 1 - \frac{b}{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - \frac{b}{x}$ .

$1 - \frac{b}{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - \frac{b}{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - \frac{b}{x} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{b}{x} = - 1$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{b}{x} = - 1$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{b}{x} = - 1$ par $x$ .

$- \frac{b}{x} x = - x$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{b}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- b}{x} x = - x$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- b = - x$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x = - b$ .

$- x = - b$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- x = - b$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - b$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- b}{- 1}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- b}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- b}{- 1}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{b}{1}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $b$ par $1$ .

$x = b$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{b}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 6.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$b = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = b$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = b$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{b}{{(b)}^{2}}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $b$ et ${(b)}^{2}$ .

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Étape 9.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{b^{1}}{{(b)}^{2}}$

Étape 9.2

Factorisez $b$ à partir de $b^{1}$ .

$\frac{b \cdot 1}{{(b)}^{2}}$

Étape 9.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1

Factorisez $b$ à partir de ${(b)}^{2}$ .

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{b}$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11