Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Étape 1.2.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Étape 1.2.7

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{2}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2.9

Associez $- 6$ et $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2.10

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez des termes.

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Étape 1.3.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 12 x + 1$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x + 1) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 12 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + 0) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Additionnez $2 x - 12$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 (x^{2} - 12 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) + (- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (2 x - 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 12) + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Déplacez $- 12$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.5

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.5

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 0 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2.2

Additionnez $- 12 x^{2} + 2 x - 12$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2.4

Additionnez $- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.3

Additionnez $- 12 x^{2}$ et $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} - 12$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) + 12 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2}) + 12 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Étape 4.1.2.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Étape 4.1.2.7

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Étape 4.1.2.8

Associez $\frac{2}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.9

Associez $- 6$ et $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 4.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.3.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 4.1.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 4.1.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 12 x + 1 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 12$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.3

Soustrayez $4$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.4

Réécrivez $140$ comme $2^{2} \cdot 35$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Étape 5.3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.3

Soustrayez $4$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.4

Réécrivez $140$ comme $2^{2} \cdot 35$ .

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Étape 5.3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Étape 5.3.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 6 + \sqrt{35}$

Étape 5.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.3

Soustrayez $4$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.4

Réécrivez $140$ comme $2^{2} \cdot 35$ .

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Étape 5.3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Étape 5.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 6 - \sqrt{35}$

Étape 5.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6 + \sqrt{35}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{12 ((6 + \sqrt{35}) + 1) ((6 + \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35} - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Réécrivez ${(6 + \sqrt{35})}^{2}$ comme $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{((6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Développez $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 (6 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.3.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.3.1.4

Multipliez $35$ par $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{1225} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.3.1.5

Réécrivez $1225$ comme $35^{2}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.3.2

Additionnez $36$ et $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.3.3

Additionnez $6 \sqrt{35}$ et $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.4

Additionnez $71$ et $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.3

Regroupez $5 + \sqrt{35}$ et $7 + \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.4

Développez $(5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (5 (7 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.5.1.1

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.5.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.5.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.5.1.4

Multipliez $35$ par $35$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{1225})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.5.1.5

Réécrivez $1225$ comme $35^{2}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.5.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.5.2

Additionnez $35$ et $35$ .

$\frac{12 (70 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.5.3

Additionnez $5 \sqrt{35}$ et $7 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 9.6

Réécrivez ${(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}$ comme $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})}$

Étape 9.7

Développez $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 (72 + 12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Étape 9.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Étape 9.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Étape 9.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.8.1.1

Multipliez $72$ par $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Étape 9.8.1.2

Multipliez $12$ par $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Étape 9.8.1.3

Multipliez $72$ par $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Étape 9.8.1.4

Multipliez $12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

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Étape 9.8.1.4.1

Multipliez $12$ par $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Étape 9.8.1.4.2

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Étape 9.8.1.4.3

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Étape 9.8.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Étape 9.8.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Étape 9.8.1.5

Réécrivez ${\sqrt{35}}^{2}$ comme $35$ .

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Étape 9.8.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35}$ comme $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.8.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.8.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.8.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.8.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.8.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Étape 9.8.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Étape 9.8.1.6

Multipliez $144$ par $35$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 5040}$

Étape 9.8.2

Additionnez $5184$ et $5040$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35}}$

Étape 9.8.3

Additionnez $864 \sqrt{35}$ et $864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 1728 \sqrt{35}}$

Étape 9.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.9.1

Factorisez $12$ à partir de $10224$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 1728 \sqrt{35}}$

Étape 9.9.2

Factorisez $12$ à partir de $1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (144 \sqrt{35})}$

Étape 9.9.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (852) + 12 (144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Étape 9.9.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Étape 9.9.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{70 + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Étape 9.10

Annulez le facteur commun à $70 + 12 \sqrt{35}$ et $852 + 144 \sqrt{35}$ .

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Étape 9.10.1

Factorisez $2$ à partir de $70$ .

$\frac{2 (35) + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Étape 9.10.2

Factorisez $2$ à partir de $12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Étape 9.10.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Étape 9.10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $852$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 144 \sqrt{35}}$

Étape 9.10.4.2

Factorisez $2$ à partir de $144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (72 \sqrt{35})}$

Étape 9.10.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (426) + 2 (72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Étape 9.10.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Étape 9.10.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Étape 9.11

Multipliez $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ par $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Étape 9.12

Simplifiez les termes.

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Étape 9.12.1

Multipliez $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ par $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{(426 + 72 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}$

Étape 9.12.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{181476 - 30672 \sqrt{35} + 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Étape 9.12.3

Simplifiez

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{36}$

Étape 9.12.4

Annulez le facteur commun à $426 - 72 \sqrt{35}$ et $36$ .

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Étape 9.12.4.1

Factorisez $6$ à partir de $(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{36}$

Étape 9.12.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.12.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Étape 9.12.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Étape 9.12.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.13

Développez $(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 (71 - 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.14.1.1

Multipliez $35$ par $71$ .

$\frac{2485 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.14.1.2

Multipliez $- 12$ par $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.14.1.3

Multipliez $71$ par $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.14.1.4

Multipliez $6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

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Étape 9.14.1.4.1

Multipliez $- 12$ par $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Étape 9.14.1.4.2

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.14.1.4.3

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Étape 9.14.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Étape 9.14.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Étape 9.14.1.5

Réécrivez ${\sqrt{35}}^{2}$ comme $35$ .

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Étape 9.14.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35}$ comme $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Étape 9.14.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 9.14.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 9.14.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.14.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 9.14.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Étape 9.14.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Étape 9.14.1.6

Multipliez $- 72$ par $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Étape 9.14.2

Soustrayez $2520$ de $2485$ .

$\frac{- 35 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35}}{6}$

Étape 9.14.3

Additionnez $- 420 \sqrt{35}$ et $426 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Étape 9.15

Réécrivez $- 35$ comme $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) + 6 \sqrt{35}}{6}$

Étape 9.16

Factorisez $- 1$ à partir de $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 - 6 \sqrt{35})}{6}$

Étape 9.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Étape 10

$x = 6 + \sqrt{35}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6 + \sqrt{35}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 6 + \sqrt{35}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $6 + \sqrt{35}$ dans l’expression.

$f (6 + \sqrt{35}) = (6 + \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (6 + \sqrt{35}) = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$ .

$y = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6 - \sqrt{35}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{12 ((6 - \sqrt{35}) + 1) ((6 - \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35} - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 13.1.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Réécrivez ${(6 - \sqrt{35})}^{2}$ comme $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{((6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.2

Développez $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 (6 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

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Étape 13.2.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{35}$ par $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{35}}^{2}$ comme $35$ .

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Étape 13.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35}$ comme $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{1} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.2

Additionnez $36$ et $35$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.3.3

Soustrayez $6 \sqrt{35}$ de $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Étape 13.2.4

Additionnez $71$ et $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.3

Regroupez $5 - \sqrt{35}$ et $7 - \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.4

Développez $(5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (5 (7 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.5.1.1

Multipliez $5$ par $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.3

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.4

Multipliez $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

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Étape 13.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.4.2

Multipliez $\sqrt{35}$ par $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.4.3

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.4.4

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.5

Réécrivez ${\sqrt{35}}^{2}$ comme $35$ .

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Étape 13.5.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35}$ comme $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.5.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.2

Additionnez $35$ et $35$ .

$\frac{12 (70 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.5.3

Soustrayez $7 \sqrt{35}$ de $- 5 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Étape 13.6

Réécrivez ${(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}$ comme $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})}$

Étape 13.7

Développez $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 (72 - 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Étape 13.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Étape 13.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Étape 13.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.8.1.1

Multipliez $72$ par $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Étape 13.8.1.2

Multipliez $- 12$ par $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Étape 13.8.1.3

Multipliez $72$ par $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Étape 13.8.1.4

Multipliez $- 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

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Étape 13.8.1.4.1

Multipliez $- 12$ par $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Étape 13.8.1.4.2

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Étape 13.8.1.4.3

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Étape 13.8.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Étape 13.8.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Étape 13.8.1.5

Réécrivez ${\sqrt{35}}^{2}$ comme $35$ .

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Étape 13.8.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35}$ comme $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.8.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 13.8.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.8.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.8.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.8.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Étape 13.8.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Étape 13.8.1.6

Multipliez $144$ par $35$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 5040}$

Étape 13.8.2

Additionnez $5184$ et $5040$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35}}$

Étape 13.8.3

Soustrayez $864 \sqrt{35}$ de $- 864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 1728 \sqrt{35}}$

Étape 13.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.9.1

Factorisez $12$ à partir de $10224$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 - 1728 \sqrt{35}}$

Étape 13.9.2

Factorisez $12$ à partir de $- 1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (- 144 \sqrt{35})}$

Étape 13.9.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (852) + 12 (- 144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Étape 13.9.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Étape 13.9.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{70 - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Étape 13.10

Annulez le facteur commun à $70 - 12 \sqrt{35}$ et $852 - 144 \sqrt{35}$ .

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Étape 13.10.1

Factorisez $2$ à partir de $70$ .

$\frac{2 (35) - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Étape 13.10.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Étape 13.10.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Étape 13.10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $852$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 - 144 \sqrt{35}}$

Étape 13.10.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (- 72 \sqrt{35})}$

Étape 13.10.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (426) + 2 (- 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Étape 13.10.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Étape 13.10.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Étape 13.11

Multipliez $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ par $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Étape 13.12

Simplifiez les termes.

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Étape 13.12.1

Multipliez $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ par $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{(426 - 72 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}$

Étape 13.12.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{181476 + 30672 \sqrt{35} - 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Étape 13.12.3

Simplifiez

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{36}$

Étape 13.12.4

Annulez le facteur commun à $426 + 72 \sqrt{35}$ et $36$ .

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Étape 13.12.4.1

Factorisez $6$ à partir de $(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{36}$

Étape 13.12.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.12.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Étape 13.12.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Étape 13.12.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.13

Développez $(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 (71 + 12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.14.1.1

Multipliez $35$ par $71$ .

$\frac{2485 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.14.1.2

Multipliez $12$ par $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.14.1.3

Multipliez $71$ par $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.14.1.4

Multipliez $- 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

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Étape 13.14.1.4.1

Multipliez $12$ par $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Étape 13.14.1.4.2

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.14.1.4.3

Élevez $\sqrt{35}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Étape 13.14.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Étape 13.14.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Étape 13.14.1.5

Réécrivez ${\sqrt{35}}^{2}$ comme $35$ .

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Étape 13.14.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{35}$ comme $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Étape 13.14.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 13.14.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 13.14.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.14.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 13.14.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Étape 13.14.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Étape 13.14.1.6

Multipliez $- 72$ par $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Étape 13.14.2

Soustrayez $2520$ de $2485$ .

$\frac{- 35 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35}}{6}$

Étape 13.14.3

Soustrayez $426 \sqrt{35}$ de $420 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Étape 13.15

Réécrivez $- 35$ comme $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) - 6 \sqrt{35}}{6}$

Étape 13.16

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (6 \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (35) - (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 + 6 \sqrt{35})}{6}$

Étape 13.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Étape 14

$x = 6 - \sqrt{35}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6 - \sqrt{35}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 6 - \sqrt{35}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $6 - \sqrt{35}$ dans l’expression.

$f (6 - \sqrt{35}) = (6 - \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez $- 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$f (6 - \sqrt{35}) = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$ .

$y = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ .

$(6 + \sqrt{35}, 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1))$ est un minimum local

$(6 - \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6}))$ est un maximum local

Étape 17