Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x y + y - 11 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + y - 11 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y + 0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y + 0 - 11 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$y + 0 - 11$

Étape 1.5

Additionnez $y$ et $0$ .

$y - 11$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Étape 2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Étape 2.3

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (x) = 0$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$y - 11 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + y - 11 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y + 0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y + 0 - 11 \cdot 1$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$y + 0 - 11$

Étape 4.1.5

Additionnez $y$ et $0$ .

$f' (x) = y - 11$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $y - 11$ .

$y - 11$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $y - 11 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$y - 11 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 11$

Étape 6

Points critiques à évaluer.

$x = 11$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 11$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$0$

Étape 8

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 9