Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

Étape 1.4

Associez des termes.

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Étape 1.4.1

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$x \cos (x) + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $x \cos (x)$ et $0$ .

$x \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

Étape 2.3.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x \cos (x) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$\cos (x) = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x \cos (x) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$0 \sin (0) + \cos (0)$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 \cdot 0 + \cos (0)$

Étape 9.1.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$0 + \cos (0)$

Étape 9.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 1$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = (0) \sin (0) + \cos (0)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 0 + \cos (0)$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Étape 11.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 11.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 13.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- \frac{π}{2} + 0$

Étape 13.2

Additionnez $- \frac{π}{2}$ et $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Étape 14

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 15.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Étape 15.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{3 π}{2} \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \frac{3 π}{2} (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{3 π}{2} (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.1.4

Multipliez $- \frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 17.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.1.4.2

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $1$ .

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 17.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{3 π}{2} + 0$

Étape 17.2

Additionnez $\frac{3 π}{2}$ et $0$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 18

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 19.2.1.4.1

Associez $\frac{3 π}{2}$ et $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π \cdot - 1}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 19.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + 0$

Étape 19.2.2

Additionnez $- \frac{3 π}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2}$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $- \frac{3 π}{2}$ .

$y = - \frac{3 π}{2}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ est un minimum local

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ est un maximum local

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$ est un minimum local

Étape 21