Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ .

$- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- 100 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 100 (e^{u} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.4

Comme $0.75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.75 x^{4}$ par rapport à $x$ est $0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.8

Multipliez $4$ par $0.75$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.2.9

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ et $0$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ par rapport à $x$ est $- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)]$ .

$g'' (x) = - 100 \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ et $g (x) = 3 x^{3} - 12 x$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} (3 x^{3} - 12 x) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Étape 2.3.5

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12 \cdot 1) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (0.75 x^{4} - 6 x^{2})))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (e^{u} \frac{d}{d x} (0.75 x^{4} - 6 x^{2})))$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} (0.75 x^{4} - 6 x^{2})))$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} (0.75 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

Étape 2.5.2

Comme $0.75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.75 x^{4}$ par rapport à $x$ est $0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

Étape 2.5.4

Multipliez $4$ par $0.75$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

Étape 2.5.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}))$

Étape 2.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 (2 x)))$

Étape 2.5.7

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x))$

Étape 2.6

Élevez $3 x^{3} - 12 x$ à la puissance $1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Étape 2.7

Élevez $3 x^{3} - 12 x$ à la puissance $1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + {(3 x^{3} - 12 x)}^{1 + 1} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + {(3 x^{3} - 12 x)}^{2} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12)) - 100 ({(3 x^{3} - 12 x)}^{2} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Étape 2.10.2

Supprimez les parenthèses.

$g'' (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) - 100 {(3 x^{3} - 12 x)}^{2} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$

Étape 2.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$g'' (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} {(3 x^{3} - 12 x)}^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ .

$- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- 100 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 100 (e^{u} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.4

Comme $0.75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.75 x^{4}$ par rapport à $x$ est $0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $4$ par $0.75$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ et $0$ .

$f' (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$

$3 x^{3} - 12 x = 0$

Étape 5.3

Définissez $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Définissez $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 5.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 5.4

Définissez $3 x^{3} - 12 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $3 x^{3} - 12 x$ égal à $0$ .

$3 x^{3} - 12 x = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $3 x^{3} - 12 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.2.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3} - 12 x$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Étape 5.4.2.1.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 12 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4) = 0$

Étape 5.4.2.1.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 5.4.2.1.3

Factorisez.

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Étape 5.4.2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$3 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 5.4.2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 5.4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 5.4.2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4.2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.4.2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.4.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.4.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.4.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 100 e^{0.75 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.1.2

Multipliez $0.75$ par $0$ .

$- 100 e^{0 - 6 {(0)}^{2}} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 100 e^{0 - 6 \cdot 0} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.1.4

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$- 100 e^{0 + 0} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$- 100 e^{0} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 100 \cdot 1 (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 100$ par $1$ .

$- 100 (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.5.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 100 (9 \cdot 0 - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.5.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$- 100 (0 - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.6

Soustrayez $12$ de $0$ .

$- 100 \cdot - 12 - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.7

Multipliez $- 100$ par $- 12$ .

$1200 - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.8.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1200 - 100 e^{0.75 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.8.2

Multipliez $0.75$ par $0$ .

$1200 - 100 e^{0 - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.8.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1200 - 100 e^{0 - 6 \cdot 0} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.8.4

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$1200 - 100 e^{0 + 0} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$1200 - 100 e^{0} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.10

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1200 - 100 \cdot 1 {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.11

Multipliez $- 100$ par $1$ .

$1200 - 100 {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.12.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1200 - 100 {(3 \cdot 0 - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.12.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$1200 - 100 {(0 - 12 \cdot 0)}^{2}$

Étape 9.1.12.3

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$1200 - 100 {(0 + 0)}^{2}$

Étape 9.1.13

Additionnez $0$ et $0$ .

$1200 - 100 \cdot 0^{2}$

Étape 9.1.14

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1200 - 100 \cdot 0$

Étape 9.1.15

Multipliez $- 100$ par $0$ .

$1200 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $1200$ et $0$ .

$1200$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$g (0) = - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} - 30$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0.75 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}} - 30$

Étape 11.2.1.1.2

Multipliez $0.75$ par $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0 - 6 {(0)}^{2}} - 30$

Étape 11.2.1.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0 - 6 \cdot 0} - 30$

Étape 11.2.1.1.4

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0 + 0} - 30$

Étape 11.2.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0} - 30$

Étape 11.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$g (0) = - 100 \cdot 1 - 30$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 100$ par $1$ .

$g (0) = - 100 - 30$

Étape 11.2.2

Soustrayez $30$ de $- 100$ .

$g (0) = - 130$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 130$ .

$y = - 130$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$- 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(- 2)}^{2}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.1.2

Multipliez $0.75$ par $16$ .

$- 100 e^{12 - 6 {(- 2)}^{2}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 100 e^{12 - 6 \cdot 4} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.1.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$- 100 e^{12 - 24} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.2

Soustrayez $24$ de $12$ .

$- 100 e^{- 12} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 100 \frac{1}{e^{12}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.4

Associez $- 100$ et $\frac{1}{e^{12}}$ .

$\frac{- 100}{e^{12}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{100}{e^{12}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.6.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{100}{e^{12}} (9 \cdot 4 - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.6.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$- \frac{100}{e^{12}} (36 - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.7

Soustrayez $12$ de $36$ .

$- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24 - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.8

Multipliez $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24$ .

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Étape 13.1.8.1

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$- 24 \frac{100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.8.2

Associez $- 24$ et $\frac{100}{e^{12}}$ .

$\frac{- 24 \cdot 100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.8.3

Multipliez $- 24$ par $100$ .

$\frac{- 2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.10

Remplacez $e$ par une approximation.

$- \frac{2400}{{2.71828182}^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.11

Élevez $2.71828182$ à la puissance $12$ .

$- \frac{2400}{162754.791419} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.12

Divisez $2400$ par $162754.791419$ .

$- 1 \cdot 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.13

Multipliez $- 1$ par $0.0147461$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.14.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.14.2

Multipliez $0.75$ par $16$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.14.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.14.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 24} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.15

Soustrayez $24$ de $12$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{- 12} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 0.0147461 - 100 \frac{1}{e^{12}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.17

Associez $- 100$ et $\frac{1}{e^{12}}$ .

$- 0.0147461 + \frac{- 100}{e^{12}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.19.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 \cdot - 8 - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.19.2

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(- 24 - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Étape 13.1.19.3

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(- 24 + 24)}^{2}$

Étape 13.1.20

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0^{2}$

Étape 13.1.21

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$

Étape 13.1.22

Multipliez $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$ .

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Étape 13.1.22.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$- 0.0147461 + 0 \frac{100}{e^{12}}$

Étape 13.1.22.2

Multipliez $0$ par $\frac{100}{e^{12}}$ .

$- 0.0147461 + 0$

Étape 13.2

Additionnez $- 0.0147461$ et $0$ .

$- 0.0147461$

Étape 14

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$g (- 2) = - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} - 30$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$g (- 2) = - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(- 2)}^{2}} - 30$

Étape 15.2.1.1.2

Multipliez $0.75$ par $16$ .

$g (- 2) = - 100 e^{12 - 6 {(- 2)}^{2}} - 30$

Étape 15.2.1.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$g (- 2) = - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} - 30$

Étape 15.2.1.1.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$g (- 2) = - 100 e^{12 - 24} - 30$

Étape 15.2.1.2

Soustrayez $24$ de $12$ .

$g (- 2) = - 100 e^{- 12} - 30$

Étape 15.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (- 2) = - 100 \frac{1}{e^{12}} - 30$

Étape 15.2.1.4

Associez $- 100$ et $\frac{1}{e^{12}}$ .

$g (- 2) = \frac{- 100}{e^{12}} - 30$

Étape 15.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (- 2) = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $- \frac{100}{e^{12}} - 30$ .

$y = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(2)}^{2}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.1.2

Multipliez $0.75$ par $16$ .

$- 100 e^{12 - 6 {(2)}^{2}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 100 e^{12 - 6 \cdot 4} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.1.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$- 100 e^{12 - 24} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.2

Soustrayez $24$ de $12$ .

$- 100 e^{- 12} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 100 \frac{1}{e^{12}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.4

Associez $- 100$ et $\frac{1}{e^{12}}$ .

$\frac{- 100}{e^{12}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{100}{e^{12}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.6.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{100}{e^{12}} (9 \cdot 4 - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.6.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$- \frac{100}{e^{12}} (36 - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.7

Soustrayez $12$ de $36$ .

$- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24 - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.8

Multipliez $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24$ .

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Étape 17.1.8.1

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$- 24 \frac{100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.8.2

Associez $- 24$ et $\frac{100}{e^{12}}$ .

$\frac{- 24 \cdot 100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.8.3

Multipliez $- 24$ par $100$ .

$\frac{- 2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.10

Remplacez $e$ par une approximation.

$- \frac{2400}{{2.71828182}^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.11

Élevez $2.71828182$ à la puissance $12$ .

$- \frac{2400}{162754.791419} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.12

Divisez $2400$ par $162754.791419$ .

$- 1 \cdot 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.13

Multipliez $- 1$ par $0.0147461$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.14.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.14.2

Multipliez $0.75$ par $16$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.14.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.14.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 24} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.15

Soustrayez $24$ de $12$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{- 12} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 0.0147461 - 100 \frac{1}{e^{12}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.17

Associez $- 100$ et $\frac{1}{e^{12}}$ .

$- 0.0147461 + \frac{- 100}{e^{12}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.19.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 \cdot 8 - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.19.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(24 - 12 \cdot 2)}^{2}$

Étape 17.1.19.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(24 - 24)}^{2}$

Étape 17.1.20

Soustrayez $24$ de $24$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0^{2}$

Étape 17.1.21

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$

Étape 17.1.22

Multipliez $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$ .

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Étape 17.1.22.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$- 0.0147461 + 0 \frac{100}{e^{12}}$

Étape 17.1.22.2

Multipliez $0$ par $\frac{100}{e^{12}}$ .

$- 0.0147461 + 0$

Étape 17.2

Additionnez $- 0.0147461$ et $0$ .

$- 0.0147461$

Étape 18

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$g (2) = - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} - 30$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$g (2) = - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(2)}^{2}} - 30$

Étape 19.2.1.1.2

Multipliez $0.75$ par $16$ .

$g (2) = - 100 e^{12 - 6 {(2)}^{2}} - 30$

Étape 19.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$g (2) = - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} - 30$

Étape 19.2.1.1.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$g (2) = - 100 e^{12 - 24} - 30$

Étape 19.2.1.2

Soustrayez $24$ de $12$ .

$g (2) = - 100 e^{- 12} - 30$

Étape 19.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (2) = - 100 \frac{1}{e^{12}} - 30$

Étape 19.2.1.4

Associez $- 100$ et $\frac{1}{e^{12}}$ .

$g (2) = \frac{- 100}{e^{12}} - 30$

Étape 19.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (2) = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

Étape 19.2.2

La réponse finale est $- \frac{100}{e^{12}} - 30$ .

$y = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$ .

$(0, - 130)$ est un minimum local

$(- 2, - \frac{100}{e^{12}} - 30)$ est un maximum local

$(2, - \frac{100}{e^{12}} - 30)$ est un maximum local

Étape 21