Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = \frac{4}{x^{2} - 36}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x^{2} - 36}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 36}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 36}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 36}$ comme ${(x^{2} - 36)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 36$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 36$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 36$ .

$4 (- {(x^{2} - 36)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 ({(x^{2} - 36)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])$

Étape 1.3.4

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 {(x^{2} - 36)}^{- 2} x$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Étape 1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Étape 1.5.3

Associez $x$ et $\frac{8}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 1.5.4

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}]$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 36)}^{2}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Multipliez ${(x^{2} - 36)}^{2}$ par $1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 36$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 36$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 36$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - x (2 (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Factorisez $x^{2} - 36$ à partir de ${(x^{2} - 36)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 36$ à partir de ${(x^{2} - 36)}^{2}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36) - 2 x ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $x^{2} - 36$ à partir de $- 2 x ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36) + (x^{2} - 36) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36)))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $x^{2} - 36$ à partir de $(x^{2} - 36) (x^{2} - 36) + (x^{2} - 36) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 36]))$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36)))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez $x^{2} - 36$ à partir de ${(x^{2} - 36)}^{4}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36)))}{(x^{2} - 36) {(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36)))}{(x^{2} - 36) {(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36))}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 36))}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.9

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{- 3 x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.16

Associez $- 8$ et $\frac{- 3 x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$ .

$h'' (x) = \frac{- 8 (- 3 x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$h'' (x) = - \frac{8 (- 3 x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.18

Simplifiez

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Étape 2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$h'' (x) = - \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$h'' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 2.18.2.2

Multipliez $8$ par $- 36$ .

$h'' (x) = - \frac{- 24 x^{2} - 288}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x^{2} - 36}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 36}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 36}]$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 36}$ comme ${(x^{2} - 36)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{- 1}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 36$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 36$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 36$ .

$4 (- {(x^{2} - 36)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 ({(x^{2} - 36)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Étape 4.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])$

Étape 4.1.3.4

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 4.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x)$

Étape 4.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 {(x^{2} - 36)}^{- 2} x$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Étape 4.1.5

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Étape 4.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Étape 4.1.5.3

Associez $x$ et $\frac{8}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 4.1.5.4

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $8 x = 0$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 0$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{8}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Étape 6.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 6.2.3

Définissez ${(x + 6)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.3.1

Définissez ${(x + 6)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Étape 6.2.3.2

Résolvez ${(x + 6)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Définissez le $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 6.2.3.2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 6.2.4

Définissez ${(x - 6)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.4.1

Définissez ${(x - 6)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 6.2.4.2

Résolvez ${(x - 6)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.4.2.1

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 6.2.4.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 6.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 6, 6$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 6, x = 6$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{- 24 {(0)}^{2} - 288}{{({(0)}^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{- 24 \cdot 0 - 288}{{(0^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$- \frac{0 - 288}{{(0^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $288$ de $0$ .

$- \frac{- 288}{{(0^{2} - 36)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{- 288}{{(0 - 36)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$- \frac{- 288}{{(- 36)}^{3}}$

Étape 9.2.3

Élevez $- 36$ à la puissance $3$ .

$- \frac{- 288}{- 46656}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $- 288$ et $- 46656$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $- 288$ à partir de $- 288$ .

$- \frac{- 288 (1)}{- 46656}$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $- 288$ à partir de $- 46656$ .

$- \frac{- 288 \cdot 1}{- 288 \cdot 162}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{- 288 \cdot 1}{- 288 \cdot 162}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{162}$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$h (0) = \frac{4}{{(0)}^{2} - 36}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$h (0) = \frac{4}{0 - 36}$

Étape 11.2.1.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$h (0) = \frac{4}{- 36}$

Étape 11.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 36$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$h (0) = \frac{4 (1)}{- 36}$

Étape 11.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 36$ .

$h (0) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 9}$

Étape 11.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$h (0) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 9}$

Étape 11.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$h (0) = \frac{1}{- 9}$

Étape 11.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$h (0) = - \frac{1}{9}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{9}$ .

$y = - \frac{1}{9}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $h (x) = \frac{4}{x^{2} - 36}$ .

$(0, - \frac{1}{9})$ est un maximum local

Étape 13