Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Étape 1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.12.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13

Simplifiez

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Étape 1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13.2

Associez des termes.

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Étape 1.13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13.2.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.13.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.13.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13.2.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13.2.4

Réécrivez $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.13.2.5

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.6

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.9

Additionnez $x^{\frac{1}{2}}$ et $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.9

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 2.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 2.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 2.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 2.3.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Étape 2.3.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Étape 2.3.13.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Étape 2.3.13.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 2.3.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 2.3.13.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.13.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Étape 2.3.13.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Étape 2.3.13.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 2.3.14

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2.3.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3.16

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3.17

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 2.3.18

Multipliez $2$ par $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.2

$f' (x) = (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.8

Associez les fractions.

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Étape 4.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 4.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 4.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Étape 4.1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.12.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = (x - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13

Simplifiez

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Étape 4.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13.2.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.13.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.13.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13.2.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13.2.4

Réécrivez $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.13.2.5

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.6

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.9

Additionnez $x^{\frac{1}{2}}$ et $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 5.2.2

Since $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{2}}$ .

Étape 5.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 5.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.2.6

Le plus petit multiple commun de $2, 2, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 5.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{1}{2}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.2.8

Le plus petit multiple commun pour $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $2 x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x^{\frac{1 + 1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.3.5

Divisez $2$ par $2$ .

$3 x^{1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.4

Simplifiez $3 x^{1}$ .

$3 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.3.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$3 x - 1 = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 x - 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Étape 6.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Étape 6.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 x = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x = 0$

Étape 6.3.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 6.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{3}, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{4 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{4 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{\frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

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Étape 9.1.4.1

Associez $3$ et $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.2

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.4.2.1

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 9.1.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.1.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.1.6

Associez $4$ et $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + 1 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Étape 9.1.8

Multipliez $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$ par $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Étape 9.2

Simplifiez les termes.

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Étape 9.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{3}{2}} + 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Étape 9.2.2

Additionnez $3^{\frac{3}{2}}$ et $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Étape 9.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (3^{\frac{3}{2}})}{4}$

Étape 9.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 10

$x = \frac{1}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 1 \cdot 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{- 2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 11.2.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 11.2.8

Toute racine de $1$ est $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 11.2.9

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 11.2.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.10.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 11.2.10.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 11.2.10.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 11.2.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 11.2.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 11.2.10.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 11.2.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.2.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.2.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 11.2.10.6.5

Évaluez l’exposant.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 11.2.11

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 11.2.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Étape 11.2.11.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{9}$

Étape 11.2.12

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Étape 11.2.13

La réponse finale est $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{3}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{1}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{4 \cdot 0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{3}{0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 15