Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{π}{2}$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 1.2.3

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $\cos (x + \frac{π}{2})$ par $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{π}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$g'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{π}{2}$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$g'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2})$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π - π}{2}$

Étape 6.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 6.4

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.1.2

Associez les fractions.

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Étape 8.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 8.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 8.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

Étape 8.2.3

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 8.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$x = π$

Étape 9

La solution de l’équation est $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = 0, π$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Additionnez $0$ et $\frac{π}{2}$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Étape 11.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 11.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 12

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$g (0) = \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Additionnez $0$ et $\frac{π}{2}$ .

$g (0) = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 13.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$g (0) = 1$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 15.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 15.2

Associez les fractions.

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Étape 15.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 15.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Étape 15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$- \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Étape 15.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 15.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 15.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Étape 15.6

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 15.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1$

Étape 15.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 16

$x = π$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un minimum local

Étape 17

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 17.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$g (π) = \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Étape 17.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 17.2.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$g (π) = \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 17.2.2

Associez les fractions.

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Étape 17.2.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$g (π) = \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 17.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (π) = \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Étape 17.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.2.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$g (π) = \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Étape 17.2.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$g (π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.2.4

$g (π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 17.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$g (π) = - 1 \cdot 1$

Étape 17.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$g (π) = - 1$

Étape 17.2.7

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 18

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ .

$(0, 1)$ est un maximum local

$(π, - 1)$ est un minimum local

Étape 19