Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez des termes.

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Étape 1.3.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 1$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Soustrayez $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.2

Additionnez $2 \cdot 1 x$ et $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5.3

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 5.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4}{2^{2}}$

Étape 7.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{4}$

Étape 7.3

Divisez $4$ par $4$ .

$1$

Étape 8

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

Étape 9.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 9.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 9.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

Étape 9.2.1.3

Réécrivez $- 1 \frac{π}{2}$ comme $- \frac{π}{2}$ .

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2

La réponse finale est $1 - \frac{π}{2}$ .

$y = 1 - \frac{π}{2}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 4}{2^{2}}$

Étape 11.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 4}{4}$

Étape 11.3

Divisez $- 4$ par $4$ .

$- 1$

Étape 12

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Étape 13.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

Étape 13.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

Étape 13.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Étape 13.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Étape 13.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

Étape 13.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

Étape 13.2.1.4

Multipliez $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

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Étape 13.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

Étape 13.2.1.4.2

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

Étape 13.2.2

La réponse finale est $- 1 + \frac{π}{2}$ .

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ .

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ est un minimum local

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ est un maximum local

Étape 15