Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = - 5 {(x - 1)}^{2} (x + 2) (x - 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 ((x - 1) (x - 1)) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- 5 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - x - x + 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 1.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (x - 3)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) (x - 3)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) (x - 3)]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)$ et $g (x) = x - 3$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 1.6

Différenciez.

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Étape 1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 1.6.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 1.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 1.6.4.2

Multipliez $x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ et $g (x) = x + 2$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 1.8

Différenciez.

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Étape 1.8.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 1.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 1.8.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 1.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 1.8.4.2

Multipliez $x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 1.8.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 1.8.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 1.8.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 1.8.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 1.8.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 1.8.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2 + 0)))$

Étape 1.8.11

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2)))$

Étape 1.9

Simplifiez

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Étape 1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) - 5 ((x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2)))$

Étape 1.9.2

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) - 5 (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2))$ .

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Étape 1.9.2.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 1.9.2.1.1

Déplacez $1$ .

$- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) - 5 (x - 3) (x^{2} - 2 x + (x + 2) (2 x - 2) + 1)$

Étape 1.9.2.1.2

Déplacez $- 2 x$ .

$- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) - 5 (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1)$

Étape 1.9.2.2

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) - 5 (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1)$

Étape 1.9.2.3

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1)$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) - 5 ((x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.2.4

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) - 5 ((x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.3.1

Développez $(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- 5 (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.3.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.3.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.9.3.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 5 (x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$- 5 (x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.3.2.3.1

Déplacez $x$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.2.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + x + 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.3

Associez les termes opposés dans $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + x + 2$ .

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Étape 1.9.3.3.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 5 (x^{3} + 0 - 4 x + x + 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.3.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$- 5 (x^{3} - 4 x + x + 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.4

Additionnez $- 4 x$ et $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.3.5.1

Développez $(x + 2) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.9.3.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + x (2 x - 2) + 2 (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 2 + 2 (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.9.3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.3.5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.3.5.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5.2.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 2 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5.2.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 2 x + 4 x + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4 - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.5.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $4 x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x + 1))$

Étape 1.9.3.6

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 2 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x + 1$ .

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Étape 1.9.3.6.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} + 0 - 4 + 1))$

Étape 1.9.3.6.2

Additionnez $x^{2} + 2 x^{2}$ et $0$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 4 + 1))$

Étape 1.9.3.7

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (3 x^{2} - 4 + 1))$

Étape 1.9.3.8

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (3 x^{2} - 3))$

Étape 1.9.3.9

Développez $(x - 3) (3 x^{2} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.9.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + x (3 x^{2} - 3) - 3 (3 x^{2} - 3))$

Étape 1.9.3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2} - 3))$

Étape 1.9.3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.9.3.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.3.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.9.3.10.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.9.3.10.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 (x^{2} x) + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.9.3.10.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.9.3.10.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.9.3.10.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{2 + 1} + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.9.3.10.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{3} + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.9.3.10.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{3} - 3 \cdot x - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.9.3.10.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{3} - 3 x - 9 x^{2} - 3 \cdot - 3)$

Étape 1.9.3.10.5

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{3} - 3 x - 9 x^{2} + 9)$

Étape 1.9.4

Additionnez $x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$- 5 (4 x^{3} - 3 x + 2 - 3 x - 9 x^{2} + 9)$

Étape 1.9.5

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$- 5 (4 x^{3} - 6 x + 2 - 9 x^{2} + 9)$

Étape 1.9.6

Additionnez $2$ et $9$ .

$- 5 (4 x^{3} - 6 x - 9 x^{2} + 11)$

Étape 1.9.7

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (4 x^{3}) - 5 (- 6 x) - 5 (- 9 x^{2}) - 5 \cdot 11$

Étape 1.9.8

Simplifiez

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Étape 1.9.8.1

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 20 x^{3} - 5 (- 6 x) - 5 (- 9 x^{2}) - 5 \cdot 11$

Étape 1.9.8.2

Multipliez $- 6$ par $- 5$ .

$- 20 x^{3} + 30 x - 5 (- 9 x^{2}) - 5 \cdot 11$

Étape 1.9.8.3

Multipliez $- 9$ par $- 5$ .

$- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 5 \cdot 11$

Étape 1.9.8.4

Multipliez $- 5$ par $11$ .

$- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 55$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 55$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 55]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$g'' (x) = - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$g'' (x) = - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - 60 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (x) = - 60 x^{2} + 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.3.3

Multipliez $30$ par $1$ .

$g'' (x) = - 60 x^{2} + 30 + \frac{d}{d x} (45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45 x^{2}$ par rapport à $x$ est $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$g'' (x) = - 60 x^{2} + 30 + 45 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (x) = - 60 x^{2} + 30 + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $45$ .

$g'' (x) = - 60 x^{2} + 30 + 90 x + \frac{d}{d x} (- 55)$

Étape 2.5

Comme $- 55$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 55$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = - 60 x^{2} + 30 + 90 x + 0$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Additionnez $- 60 x^{2} + 30 + 90 x$ et $0$ .

$g'' (x) = - 60 x^{2} + 30 + 90 x$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$g'' (x) = - 60 x^{2} + 90 x + 30$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 55 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 ((x - 1) (x - 1)) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- 5 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - x - x + 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (x - 3)]$

Étape 4.1.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (x - 3)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) (x - 3)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) (x - 3)]$

Étape 4.1.5

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 4.1.6

Différenciez.

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Étape 4.1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 4.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 4.1.6.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 4.1.6.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 4.1.6.4.2

Multipliez $x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)])$

Étape 4.1.7

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 4.1.8

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 4.1.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 4.1.8.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 4.1.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.8.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) ((x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 4.1.8.4.2

Multipliez $x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]))$

Étape 4.1.8.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 4.1.8.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 4.1.8.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 4.1.8.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 4.1.8.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 4.1.8.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2 + 0)))$

Étape 4.1.8.11

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2)))$

Étape 4.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) - 5 ((x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2)))$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) - 5 (x - 3) (x^{2} - 2 x + 1 + (x + 2) (2 x - 2))$ .

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Étape 4.1.9.2.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.1.9.2.1.1

Déplacez $1$ .

$- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) - 5 (x - 3) (x^{2} - 2 x + (x + 2) (2 x - 2) + 1)$

Étape 4.1.9.2.1.2

Déplacez $- 2 x$ .

$- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) - 5 (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1)$

Étape 4.1.9.2.2

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) - 5 (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1)$

Étape 4.1.9.2.3

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1)$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) - 5 ((x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.2.4

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)) - 5 ((x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$ .

$- 5 ((x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.9.3.1

Développez $(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- 5 (x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.9.3.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.9.3.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.1.9.3.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 5 (x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$- 5 (x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.9.3.2.3.1

Déplacez $x$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.2.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 5 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + x + 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.3

Associez les termes opposés dans $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + x + 2$ .

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Étape 4.1.9.3.3.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 5 (x^{3} + 0 - 4 x + x + 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.3.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$- 5 (x^{3} - 4 x + x + 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.4

Additionnez $- 4 x$ et $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + (x + 2) (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.9.3.5.1

Développez $(x + 2) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.9.3.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + x (2 x - 2) + 2 (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 2 + 2 (2 x - 2) - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.9.3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.9.3.5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.9.3.5.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5.2.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 2 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5.2.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 2 x + 4 x + 2 \cdot - 2 - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4 - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.5.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $4 x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x + 1))$

Étape 4.1.9.3.6

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 2 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x + 1$ .

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Étape 4.1.9.3.6.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} + 0 - 4 + 1))$

Étape 4.1.9.3.6.2

Additionnez $x^{2} + 2 x^{2}$ et $0$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 4 + 1))$

Étape 4.1.9.3.7

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (3 x^{2} - 4 + 1))$

Étape 4.1.9.3.8

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + (x - 3) (3 x^{2} - 3))$

Étape 4.1.9.3.9

Développez $(x - 3) (3 x^{2} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.9.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + x (3 x^{2} - 3) - 3 (3 x^{2} - 3))$

Étape 4.1.9.3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2} - 3))$

Étape 4.1.9.3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + x (3 x^{2}) + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 4.1.9.3.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.9.3.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 4.1.9.3.10.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.9.3.10.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 (x^{2} x) + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 4.1.9.3.10.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.1.9.3.10.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 4.1.9.3.10.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{2 + 1} + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 4.1.9.3.10.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{3} + x \cdot - 3 - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 4.1.9.3.10.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{3} - 3 \cdot x - 3 (3 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Étape 4.1.9.3.10.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{3} - 3 x - 9 x^{2} - 3 \cdot - 3)$

Étape 4.1.9.3.10.5

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$- 5 (x^{3} - 3 x + 2 + 3 x^{3} - 3 x - 9 x^{2} + 9)$

Étape 4.1.9.4

Additionnez $x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$- 5 (4 x^{3} - 3 x + 2 - 3 x - 9 x^{2} + 9)$

Étape 4.1.9.5

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$- 5 (4 x^{3} - 6 x + 2 - 9 x^{2} + 9)$

Étape 4.1.9.6

Additionnez $2$ et $9$ .

$- 5 (4 x^{3} - 6 x - 9 x^{2} + 11)$

Étape 4.1.9.7

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (4 x^{3}) - 5 (- 6 x) - 5 (- 9 x^{2}) - 5 \cdot 11$

Étape 4.1.9.8

Simplifiez

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Étape 4.1.9.8.1

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 20 x^{3} - 5 (- 6 x) - 5 (- 9 x^{2}) - 5 \cdot 11$

Étape 4.1.9.8.2

Multipliez $- 6$ par $- 5$ .

$- 20 x^{3} + 30 x - 5 (- 9 x^{2}) - 5 \cdot 11$

Étape 4.1.9.8.3

Multipliez $- 9$ par $- 5$ .

$- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 5 \cdot 11$

Étape 4.1.9.8.4

Multipliez $- 5$ par $11$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 55$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 55$ .

$- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 55$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 55 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 55 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20 x^{3} + 30 x + 45 x^{2} - 55$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$5 (- 4 x^{3}) + 30 x + 45 x^{2} - 55 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $5$ à partir de $30 x$ .

$5 (- 4 x^{3}) + 5 (6 x) + 45 x^{2} - 55 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $5$ à partir de $45 x^{2}$ .

$5 (- 4 x^{3}) + 5 (6 x) + 5 (9 x^{2}) - 55 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $5$ à partir de $- 55$ .

$5 (- 4 x^{3}) + 5 (6 x) + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 11) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 4 x^{3}) + 5 (6 x)$ .

$5 (- 4 x^{3} + 6 x) + 5 (9 x^{2}) + 5 (- 11) = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 4 x^{3} + 6 x) + 5 (9 x^{2})$ .

$5 (- 4 x^{3} + 6 x + 9 x^{2}) + 5 (- 11) = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 4 x^{3} + 6 x + 9 x^{2}) + 5 (- 11)$ .

$5 (- 4 x^{3} + 6 x + 9 x^{2} - 11) = 0$

Étape 5.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 (- 4 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 11) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $- 4 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 11$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 5.2.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 11, \pm 2.75, \pm 5.5$

Étape 5.2.3.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.3.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 4 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 11$

Étape 5.2.3.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 4 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 11$

Étape 5.2.3.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 + 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 11$

Étape 5.2.3.1.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 9 \cdot 1 + 6 \cdot 1 - 11$

Étape 5.2.3.1.3.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 4 + 9 + 6 \cdot 1 - 11$

Étape 5.2.3.1.3.6

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$5 + 6 \cdot 1 - 11$

Étape 5.2.3.1.3.7

Multipliez $6$ par $1$ .

$5 + 6 - 11$

Étape 5.2.3.1.3.8

Additionnez $5$ et $6$ .

$11 - 11$

Étape 5.2.3.1.3.9

Soustrayez $11$ de $11$ .

$0$

Étape 5.2.3.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 4 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 11}{x - 1}$

Étape 5.2.3.1.5

Divisez $- 4 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 11$ par $x - 1$ .

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Étape 5.2.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$11$

Étape 5.2.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$

Étape 5.2.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 5.2.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 5.2.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Étape 5.2.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 5.2.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 5.2.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 5.2.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{2} - 5 x$

			-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 5.2.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$11 x$

Étape 5.2.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$11 x$	-	$11$

Étape 5.2.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $11 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	+	$11$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$11 x$	-	$11$

Étape 5.2.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	+	$11$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$11 x$	-	$11$
							+	$11 x$	-	$11$

Étape 5.2.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $11 x - 11$

			-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	+	$11$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$11 x$	-	$11$
							-	$11 x$	+	$11$

Étape 5.2.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	+	$11$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$11$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$11 x$	-	$11$
							-	$11 x$	+	$11$
										$0$

Étape 5.2.3.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 4 x^{2} + 5 x + 11$

Étape 5.2.3.1.6

Écrivez $- 4 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 11$ comme un ensemble de facteurs.

$5 ((x - 1) (- 4 x^{2} + 5 x + 11)) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$5 (x - 1) (- 4 x^{2} + 5 x + 11) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$- 4 x^{2} + 5 x + 11 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.5

Définissez $- 4 x^{2} + 5 x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $- 4 x^{2} + 5 x + 11$ égal à $0$ .

$- 4 x^{2} + 5 x + 11 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $- 4 x^{2} + 5 x + 11 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = - 4$ , $b = 5$ et $c = 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 11)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot 11$ .

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Étape 5.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 16 \cdot 11}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.3.1.2.2

Multipliez $16$ par $11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 176}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.3.1.3

Additionnez $25$ et $176$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{201}}{- 8}$

Étape 5.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 5 \pm \sqrt{201}}{- 8}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{201}}{8}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot 11$ .

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Étape 5.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 16 \cdot 11}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.4.1.2.2

Multipliez $16$ par $11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 176}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.4.1.3

Additionnez $25$ et $176$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{201}}{- 8}$

Étape 5.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 5 \pm \sqrt{201}}{- 8}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{201}}{8}$

Étape 5.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{5 + \sqrt{201}}{8}$

Étape 5.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot 11$ .

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Étape 5.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 16 \cdot 11}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.5.1.2.2

Multipliez $16$ par $11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 176}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.5.1.3

Additionnez $25$ et $176$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{201}}{- 8}$

Étape 5.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 5 \pm \sqrt{201}}{- 8}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{201}}{8}$

Étape 5.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{5 - \sqrt{201}}{8}$

Étape 5.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + \sqrt{201}}{8}, \frac{5 - \sqrt{201}}{8}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 (x - 1) (- 4 x^{2} + 5 x + 11) = 0$ vraie.

$x = 1, \frac{5 + \sqrt{201}}{8}, \frac{5 - \sqrt{201}}{8}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1, \frac{5 + \sqrt{201}}{8}, \frac{5 - \sqrt{201}}{8}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 60 {(1)}^{2} + 90 (1) + 30$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 60 \cdot 1 + 90 (1) + 30$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 60$ par $1$ .

$- 60 + 90 (1) + 30$

Étape 9.1.3

Multipliez $90$ par $1$ .

$- 60 + 90 + 30$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 60$ et $90$ .

$30 + 30$

Étape 9.2.2

Additionnez $30$ et $30$ .

$60$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$g (1) = - 5 {((1) - 1)}^{2} ((1) + 2) ((1) - 3)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$g (1) = - 5 \cdot (0^{2} ((1) + 2) ((1) - 3))$

Étape 11.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$g (1) = - 5 \cdot (0 ((1) + 2) ((1) - 3))$

Étape 11.2.3

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$g (1) = 0 ((1) + 2) ((1) - 3)$

Étape 11.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$g (1) = 0 \cdot (3 ((1) - 3))$

Étape 11.2.5

Multipliez $0$ par $3$ .

$g (1) = 0 ((1) - 3)$

Étape 11.2.6

Soustrayez $3$ de $1$ .

$g (1) = 0 \cdot - 2$

Étape 11.2.7

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$g (1) = 0$

Étape 11.2.8

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 + \sqrt{201}}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 60 {(\frac{5 + \sqrt{201}}{8})}^{2} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 + \sqrt{201}}{8}$ .

$- 60 \frac{{(5 + \sqrt{201})}^{2}}{8^{2}} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- 60 \frac{{(5 + \sqrt{201})}^{2}}{64} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 60$ .

$4 (- 15) \frac{{(5 + \sqrt{201})}^{2}}{64} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$4 \cdot - 15 \frac{{(5 + \sqrt{201})}^{2}}{4 \cdot 16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 15 \frac{{(5 + \sqrt{201})}^{2}}{4 \cdot 16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 15 \frac{{(5 + \sqrt{201})}^{2}}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.4

Associez $- 15$ et $\frac{{(5 + \sqrt{201})}^{2}}{16}$ .

$\frac{- 15 {(5 + \sqrt{201})}^{2}}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.5

Réécrivez ${(5 + \sqrt{201})}^{2}$ comme $(5 + \sqrt{201}) (5 + \sqrt{201})$ .

$\frac{- 15 ((5 + \sqrt{201}) (5 + \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.6

Développez $(5 + \sqrt{201}) (5 + \sqrt{201})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 (5 (5 + \sqrt{201}) + \sqrt{201} (5 + \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 (5 \cdot 5 + 5 \sqrt{201} + \sqrt{201} (5 + \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 (5 \cdot 5 + 5 \sqrt{201} + \sqrt{201} \cdot 5 + \sqrt{201} \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.7.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{- 15 (25 + 5 \sqrt{201} + \sqrt{201} \cdot 5 + \sqrt{201} \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.7.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{201}$ .

$\frac{- 15 (25 + 5 \sqrt{201} + 5 \cdot \sqrt{201} + \sqrt{201} \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.7.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{- 15 (25 + 5 \sqrt{201} + 5 \sqrt{201} + \sqrt{201 \cdot 201})}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.7.1.4

Multipliez $201$ par $201$ .

$\frac{- 15 (25 + 5 \sqrt{201} + 5 \sqrt{201} + \sqrt{40401})}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.7.1.5

Réécrivez $40401$ comme $201^{2}$ .

$\frac{- 15 (25 + 5 \sqrt{201} + 5 \sqrt{201} + \sqrt{201^{2}})}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.7.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 15 (25 + 5 \sqrt{201} + 5 \sqrt{201} + 201)}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.7.2

Additionnez $25$ et $201$ .

$\frac{- 15 (226 + 5 \sqrt{201} + 5 \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.7.3

Additionnez $5 \sqrt{201}$ et $5 \sqrt{201}$ .

$\frac{- 15 (226 + 10 \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.8

Annulez le facteur commun à $226 + 10 \sqrt{201}$ et $16$ .

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Étape 13.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 15 (226 + 10 \sqrt{201})$ .

$\frac{2 (- 15 (113 + 5 \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (- 15 (113 + 5 \sqrt{201}))}{2 (8)} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 15 (113 + 5 \sqrt{201}))}{2 \cdot 8} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + 90 (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 13.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $90$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + 2 (45) \frac{5 + \sqrt{201}}{8} + 30$

Étape 13.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + 2 \cdot 45 \frac{5 + \sqrt{201}}{2 \cdot 4} + 30$

Étape 13.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + 2 \cdot 45 \frac{5 + \sqrt{201}}{2 \cdot 4} + 30$

Étape 13.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + 45 \frac{5 + \sqrt{201}}{4} + 30$

Étape 13.1.11

Associez $45$ et $\frac{5 + \sqrt{201}}{4}$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 + \sqrt{201})}{4} + 30$

Étape 13.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 13.2.1

Multipliez $\frac{45 (5 + \sqrt{201})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 + \sqrt{201})}{4} \cdot \frac{2}{2} + 30$

Étape 13.2.2

Multipliez $\frac{45 (5 + \sqrt{201})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 30$

Étape 13.2.3

Écrivez $30$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{30}{1}$

Étape 13.2.4

Multipliez $\frac{30}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{30}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 13.2.5

Multipliez $\frac{30}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{15 (113 + 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2}{8} + \frac{30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 15 (113 + 5 \sqrt{201}) + 45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 \cdot 113 - 15 (5 \sqrt{201}) + 45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.2

Multipliez $- 15$ par $113$ .

$\frac{- 1695 - 15 (5 \sqrt{201}) + 45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.3

Multipliez $5$ par $- 15$ .

$\frac{- 1695 - 75 \sqrt{201} + 45 (5 + \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1695 - 75 \sqrt{201} + (45 \cdot 5 + 45 \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.5

Multipliez $45$ par $5$ .

$\frac{- 1695 - 75 \sqrt{201} + (225 + 45 \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1695 - 75 \sqrt{201} + 225 \cdot 2 + 45 \sqrt{201} \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.7

Multipliez $225$ par $2$ .

$\frac{- 1695 - 75 \sqrt{201} + 450 + 45 \sqrt{201} \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.8

Multipliez $2$ par $45$ .

$\frac{- 1695 - 75 \sqrt{201} + 450 + 90 \sqrt{201} + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.9

Multipliez $30$ par $8$ .

$\frac{- 1695 - 75 \sqrt{201} + 450 + 90 \sqrt{201} + 240}{8}$

Étape 13.5

Simplifiez les termes.

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Étape 13.5.1

Additionnez $- 1695$ et $450$ .

$\frac{- 1245 - 75 \sqrt{201} + 90 \sqrt{201} + 240}{8}$

Étape 13.5.2

Additionnez $- 1245$ et $240$ .

$\frac{- 1005 - 75 \sqrt{201} + 90 \sqrt{201}}{8}$

Étape 13.5.3

Additionnez $- 75 \sqrt{201}$ et $90 \sqrt{201}$ .

$\frac{- 1005 + 15 \sqrt{201}}{8}$

Étape 13.5.4

Réécrivez $- 1005$ comme $- 1 (1005)$ .

$\frac{- 1 (1005) + 15 \sqrt{201}}{8}$

Étape 13.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $15 \sqrt{201}$ .

$\frac{- 1 (1005) - (- 15 \sqrt{201})}{8}$

Étape 13.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1005) - (- 15 \sqrt{201})$ .

$\frac{- 1 (1005 - 15 \sqrt{201})}{8}$

Étape 13.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1005 - 15 \sqrt{201}}{8}$

Étape 14

$x = \frac{5 + \sqrt{201}}{8}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 + \sqrt{201}}{8}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 + \sqrt{201}}{8}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 + \sqrt{201}}{8}$ dans l’expression.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 {((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 1)}^{2} ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{5 + \sqrt{201}}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8})}^{2} ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.2

Associez les fractions.

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Étape 15.2.2.1

Associez $- 1$ et $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{5 + \sqrt{201}}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{5 + \sqrt{201} - 1 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{5 + \sqrt{201} - 8}{8})}^{2} ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.3.2

Soustrayez $8$ de $5$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{- 3 + \sqrt{201}}{8})}^{2} ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{- 3 + \sqrt{201}}{8}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{{(- 3 + \sqrt{201})}^{2}}{8^{2}} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{{(- 3 + \sqrt{201})}^{2}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.4.3

Réécrivez ${(- 3 + \sqrt{201})}^{2}$ comme $(- 3 + \sqrt{201}) (- 3 + \sqrt{201})$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{(- 3 + \sqrt{201}) (- 3 + \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.5

Développez $(- 3 + \sqrt{201}) (- 3 + \sqrt{201})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{- 3 (- 3 + \sqrt{201}) + \sqrt{201} (- 3 + \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{- 3 \cdot - 3 - 3 \sqrt{201} + \sqrt{201} (- 3 + \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{- 3 \cdot - 3 - 3 \sqrt{201} + \sqrt{201} \cdot - 3 + \sqrt{201} \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.6.1.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 - 3 \sqrt{201} + \sqrt{201} \cdot - 3 + \sqrt{201} \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.6.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $\sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 - 3 \sqrt{201} - 3 \cdot \sqrt{201} + \sqrt{201} \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.6.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 - 3 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201} + \sqrt{201 \cdot 201}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.6.1.4

Multipliez $201$ par $201$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 - 3 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201} + \sqrt{40401}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.6.1.5

Réécrivez $40401$ comme $201^{2}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 - 3 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201} + \sqrt{201^{2}}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.6.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 - 3 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201} + 201}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.6.2

Additionnez $9$ et $201$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{210 - 3 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.6.3

Soustrayez $3 \sqrt{201}$ de $- 3 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{210 - 6 \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.7

Annulez le facteur commun à $210 - 6 \sqrt{201}$ et $64$ .

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Étape 15.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $210$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105) - 6 \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105) + 2 (- 3 \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (105) + 2 (- 3 \sqrt{201})$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105 - 3 \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105 - 3 \sqrt{201})}{2 \cdot 32} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105 - 3 \sqrt{201})}{2 \cdot 32} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{105 - 3 \sqrt{201}}{32} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.8

Associez $- 5$ et $\frac{105 - 3 \sqrt{201}}{32}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = \frac{- 5 (105 - 3 \sqrt{201})}{32} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 - 3 \sqrt{201})}{32} \cdot (((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.10

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 - 3 \sqrt{201})}{32} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.11

Associez les fractions.

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Étape 15.2.11.1

Associez $2$ et $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 - 3 \sqrt{201})}{32} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}) ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 15.2.11.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 - 3 \sqrt{201})}{32} \cdot \frac{5 + \sqrt{201} + 2 \cdot 8}{8} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.12.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 - 3 \sqrt{201})}{32} \cdot \frac{5 + \sqrt{201} + 16}{8} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.12.2

Additionnez $5$ et $16$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 - 3 \sqrt{201})}{32} \cdot \frac{21 + \sqrt{201}}{8} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.13

Multipliez $- \frac{5 (105 - 3 \sqrt{201})}{32} \cdot \frac{21 + \sqrt{201}}{8}$ .

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Étape 15.2.13.1

Multipliez $\frac{21 + \sqrt{201}}{8}$ par $\frac{5 (105 - 3 \sqrt{201})}{32}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(21 + \sqrt{201}) (5 (105 - 3 \sqrt{201}))}{8 \cdot 32} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.13.2

Multipliez $8$ par $32$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(21 + \sqrt{201}) (5 (105 - 3 \sqrt{201}))}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.14

Regroupez $105 - 3 \sqrt{201}$ et $21 + \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(105 - 3 \sqrt{201}) (21 + \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.15

Développez $(105 - 3 \sqrt{201}) (21 + \sqrt{201})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(105 (21 + \sqrt{201}) - 3 \sqrt{201} (21 + \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(105 \cdot 21 + 105 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201} (21 + \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(105 \cdot 21 + 105 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201} \cdot 21 - 3 \sqrt{201} \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.16.1.1

Multipliez $105$ par $21$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201} \cdot 21 - 3 \sqrt{201} \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.2

Multipliez $21$ par $- 3$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201} \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.3

Multipliez $- 3 \sqrt{201} \sqrt{201}$ .

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Étape 15.2.16.1.3.1

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 (\sqrt{201} \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.3.2

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 (\sqrt{201} \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 {\sqrt{201}}^{1 + 1}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 {\sqrt{201}}^{2}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.4

Réécrivez ${\sqrt{201}}^{2}$ comme $201$ .

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Étape 15.2.16.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{201}$ comme $201^{\frac{1}{2}}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 {(201^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.16.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.1.5

Multipliez $- 3$ par $201$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201} - 603) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.2

Soustrayez $603$ de $2205$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(1602 + 105 \sqrt{201} - 63 \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.16.3

Soustrayez $63 \sqrt{201}$ de $105 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(1602 + 42 \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.17

Annulez le facteur commun à $1602 + 42 \sqrt{201}$ et $256$ .

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Étape 15.2.17.1

Factorisez $2$ à partir de $(1602 + 42 \sqrt{201}) \cdot 5$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((801 + 21 \sqrt{201}) \cdot 5)}{256} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((801 + 21 \sqrt{201}) \cdot 5)}{2 (128)} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((801 + 21 \sqrt{201}) \cdot 5)}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 + 21 \sqrt{201}) \cdot 5}{128} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.18

Déplacez $5$ à gauche de $801 + 21 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 \cdot (801 + 21 \sqrt{201})}{128} \cdot ((\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 15.2.19

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 + 21 \sqrt{201})}{128} \cdot (\frac{5 + \sqrt{201}}{8} - 3 \cdot \frac{8}{8})$

Étape 15.2.20

Associez les fractions.

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Étape 15.2.20.1

Associez $- 3$ et $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 + 21 \sqrt{201})}{128} \cdot (\frac{5 + \sqrt{201}}{8} + \frac{- 3 \cdot 8}{8})$

Étape 15.2.20.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 + 21 \sqrt{201})}{128} \cdot \frac{5 + \sqrt{201} - 3 \cdot 8}{8}$

Étape 15.2.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.21.1

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 + 21 \sqrt{201})}{128} \cdot \frac{5 + \sqrt{201} - 24}{8}$

Étape 15.2.21.2

Soustrayez $24$ de $5$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 + 21 \sqrt{201})}{128} \cdot \frac{- 19 + \sqrt{201}}{8}$

Étape 15.2.22

Multipliez $- \frac{5 (801 + 21 \sqrt{201})}{128} \cdot \frac{- 19 + \sqrt{201}}{8}$ .

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Étape 15.2.22.1

Multipliez $\frac{- 19 + \sqrt{201}}{8}$ par $\frac{5 (801 + 21 \sqrt{201})}{128}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 19 + \sqrt{201}) (5 (801 + 21 \sqrt{201}))}{8 \cdot 128}$

Étape 15.2.22.2

Multipliez $8$ par $128$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 19 + \sqrt{201}) (5 (801 + 21 \sqrt{201}))}{1024}$

Étape 15.2.23

Regroupez $801 + 21 \sqrt{201}$ et $- 19 + \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 + 21 \sqrt{201}) (- 19 + \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.24

Développez $(801 + 21 \sqrt{201}) (- 19 + \sqrt{201})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.24.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 (- 19 + \sqrt{201}) + 21 \sqrt{201} (- 19 + \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.24.2

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 \cdot - 19 + 801 \sqrt{201} + 21 \sqrt{201} (- 19 + \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.24.3

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 \cdot - 19 + 801 \sqrt{201} + 21 \sqrt{201} \cdot - 19 + 21 \sqrt{201} \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.25.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.25.1.1

Multipliez $801$ par $- 19$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} + 21 \sqrt{201} \cdot - 19 + 21 \sqrt{201} \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.2

Multipliez $- 19$ par $21$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 \sqrt{201} \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.3

Multipliez $21 \sqrt{201} \sqrt{201}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.25.1.3.1

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 (\sqrt{201} \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.3.2

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 (\sqrt{201} \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 {\sqrt{201}}^{1 + 1}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 {\sqrt{201}}^{2}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.4

Réécrivez ${\sqrt{201}}^{2}$ comme $201$ .

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Étape 15.2.25.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{201}$ comme $201^{\frac{1}{2}}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 {(201^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.25.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.1.5

Multipliez $21$ par $201$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201} + 4221) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.2

Additionnez $- 15219$ et $4221$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 10998 + 801 \sqrt{201} - 399 \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.25.3

Soustrayez $399 \sqrt{201}$ de $801 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 10998 + 402 \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 15.2.26

Annulez le facteur commun à $- 10998 + 402 \sqrt{201}$ et $1024$ .

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Étape 15.2.26.1

Factorisez $2$ à partir de $(- 10998 + 402 \sqrt{201}) \cdot 5$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((- 5499 + 201 \sqrt{201}) \cdot 5)}{1024}$

Étape 15.2.26.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $1024$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((- 5499 + 201 \sqrt{201}) \cdot 5)}{2 (512)}$

Étape 15.2.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((- 5499 + 201 \sqrt{201}) \cdot 5)}{2 \cdot 512}$

Étape 15.2.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 5499 + 201 \sqrt{201}) \cdot 5}{512}$

Étape 15.2.27

Déplacez $5$ à gauche de $- 5499 + 201 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 \cdot (- 5499 + 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 15.2.28

Réécrivez $- 5499$ comme $- 1 (5499)$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (- 1 \cdot 5499 + 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 15.2.29

Factorisez $- 1$ à partir de $201 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (- 1 \cdot 5499 - (- 201 \sqrt{201}))}{512}$

Étape 15.2.30

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5499) - (- 201 \sqrt{201})$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (- 1 (5499 - 201 \sqrt{201}))}{512}$

Étape 15.2.31

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.31.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = \frac{5 (5499 - 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 15.2.31.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = 1 (\frac{5 (5499 - 201 \sqrt{201})}{512})$

Étape 15.2.31.3

Multipliez $\frac{5 (5499 - 201 \sqrt{201})}{512}$ par $1$ .

$g (\frac{5 + \sqrt{201}}{8}) = \frac{5 (5499 - 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 15.2.32

La réponse finale est $\frac{5 (5499 - 201 \sqrt{201})}{512}$ .

$y = \frac{5 (5499 - 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 - \sqrt{201}}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 60 {(\frac{5 - \sqrt{201}}{8})}^{2} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 - \sqrt{201}}{8}$ .

$- 60 \frac{{(5 - \sqrt{201})}^{2}}{8^{2}} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- 60 \frac{{(5 - \sqrt{201})}^{2}}{64} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 17.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 60$ .

$4 (- 15) \frac{{(5 - \sqrt{201})}^{2}}{64} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$4 \cdot - 15 \frac{{(5 - \sqrt{201})}^{2}}{4 \cdot 16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 15 \frac{{(5 - \sqrt{201})}^{2}}{4 \cdot 16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 15 \frac{{(5 - \sqrt{201})}^{2}}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.4

Associez $- 15$ et $\frac{{(5 - \sqrt{201})}^{2}}{16}$ .

$\frac{- 15 {(5 - \sqrt{201})}^{2}}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.5

Réécrivez ${(5 - \sqrt{201})}^{2}$ comme $(5 - \sqrt{201}) (5 - \sqrt{201})$ .

$\frac{- 15 ((5 - \sqrt{201}) (5 - \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.6

Développez $(5 - \sqrt{201}) (5 - \sqrt{201})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 17.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 (5 (5 - \sqrt{201}) - \sqrt{201} (5 - \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 (5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{201}) - \sqrt{201} (5 - \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 (5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{201}) - \sqrt{201} \cdot 5 - \sqrt{201} (- \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 17.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.7.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{- 15 (25 + 5 (- \sqrt{201}) - \sqrt{201} \cdot 5 - \sqrt{201} (- \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - \sqrt{201} \cdot 5 - \sqrt{201} (- \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} - \sqrt{201} (- \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.4

Multipliez $- \sqrt{201} (- \sqrt{201})$ .

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Étape 17.1.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + 1 \sqrt{201} \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.4.2

Multipliez $\sqrt{201}$ par $1$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + \sqrt{201} \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.4.3

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + {\sqrt{201}}^{1} \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.4.4

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + {\sqrt{201}}^{1} {\sqrt{201}}^{1})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + {\sqrt{201}}^{1 + 1})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + {\sqrt{201}}^{2})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{201}}^{2}$ comme $201$ .

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Étape 17.1.7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{201}$ comme $201^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + {(201^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + 201^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + 201^{\frac{2}{2}})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + 201^{\frac{2}{2}})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + 201^{1})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 15 (25 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201} + 201)}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.2

Additionnez $25$ et $201$ .

$\frac{- 15 (226 - 5 \sqrt{201} - 5 \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.7.3

Soustrayez $5 \sqrt{201}$ de $- 5 \sqrt{201}$ .

$\frac{- 15 (226 - 10 \sqrt{201})}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.8

Annulez le facteur commun à $226 - 10 \sqrt{201}$ et $16$ .

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Étape 17.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 15 (226 - 10 \sqrt{201})$ .

$\frac{2 (- 15 (113 - 5 \sqrt{201}))}{16} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (- 15 (113 - 5 \sqrt{201}))}{2 (8)} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 15 (113 - 5 \sqrt{201}))}{2 \cdot 8} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + 90 (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 30$

Étape 17.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $90$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + 2 (45) \frac{5 - \sqrt{201}}{8} + 30$

Étape 17.1.10.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + 2 \cdot 45 \frac{5 - \sqrt{201}}{2 \cdot 4} + 30$

Étape 17.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + 2 \cdot 45 \frac{5 - \sqrt{201}}{2 \cdot 4} + 30$

Étape 17.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + 45 \frac{5 - \sqrt{201}}{4} + 30$

Étape 17.1.11

Associez $45$ et $\frac{5 - \sqrt{201}}{4}$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 - \sqrt{201})}{4} + 30$

Étape 17.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 17.2.1

Multipliez $\frac{45 (5 - \sqrt{201})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 - \sqrt{201})}{4} \cdot \frac{2}{2} + 30$

Étape 17.2.2

Multipliez $\frac{45 (5 - \sqrt{201})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 30$

Étape 17.2.3

Écrivez $30$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{30}{1}$

Étape 17.2.4

Multipliez $\frac{30}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{30}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 17.2.5

Multipliez $\frac{30}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{15 (113 - 5 \sqrt{201})}{8} + \frac{45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2}{8} + \frac{30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 15 (113 - 5 \sqrt{201}) + 45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 15 \cdot 113 - 15 (- 5 \sqrt{201}) + 45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.2

Multipliez $- 15$ par $113$ .

$\frac{- 1695 - 15 (- 5 \sqrt{201}) + 45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.3

Multipliez $- 5$ par $- 15$ .

$\frac{- 1695 + 75 \sqrt{201} + 45 (5 - \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1695 + 75 \sqrt{201} + (45 \cdot 5 + 45 (- \sqrt{201})) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.5

Multipliez $45$ par $5$ .

$\frac{- 1695 + 75 \sqrt{201} + (225 + 45 (- \sqrt{201})) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.6

Multipliez $- 1$ par $45$ .

$\frac{- 1695 + 75 \sqrt{201} + (225 - 45 \sqrt{201}) \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1695 + 75 \sqrt{201} + 225 \cdot 2 - 45 \sqrt{201} \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.8

Multipliez $225$ par $2$ .

$\frac{- 1695 + 75 \sqrt{201} + 450 - 45 \sqrt{201} \cdot 2 + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.9

Multipliez $2$ par $- 45$ .

$\frac{- 1695 + 75 \sqrt{201} + 450 - 90 \sqrt{201} + 30 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.10

Multipliez $30$ par $8$ .

$\frac{- 1695 + 75 \sqrt{201} + 450 - 90 \sqrt{201} + 240}{8}$

Étape 17.5

Simplifiez les termes.

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Étape 17.5.1

Additionnez $- 1695$ et $450$ .

$\frac{- 1245 + 75 \sqrt{201} - 90 \sqrt{201} + 240}{8}$

Étape 17.5.2

Additionnez $- 1245$ et $240$ .

$\frac{- 1005 + 75 \sqrt{201} - 90 \sqrt{201}}{8}$

Étape 17.5.3

Soustrayez $90 \sqrt{201}$ de $75 \sqrt{201}$ .

$\frac{- 1005 - 15 \sqrt{201}}{8}$

Étape 17.5.4

Réécrivez $- 1005$ comme $- 1 (1005)$ .

$\frac{- 1 (1005) - 15 \sqrt{201}}{8}$

Étape 17.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 \sqrt{201}$ .

$\frac{- 1 (1005) - (15 \sqrt{201})}{8}$

Étape 17.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1005) - (15 \sqrt{201})$ .

$\frac{- 1 (1005 + 15 \sqrt{201})}{8}$

Étape 17.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1005 + 15 \sqrt{201}}{8}$

Étape 18

$x = \frac{5 - \sqrt{201}}{8}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 - \sqrt{201}}{8}$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 - \sqrt{201}}{8}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 - \sqrt{201}}{8}$ dans l’expression.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 {((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 1)}^{2} ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{5 - \sqrt{201}}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8})}^{2} ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.2

Associez les fractions.

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Étape 19.2.2.1

Associez $- 1$ et $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{5 - \sqrt{201}}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{5 - \sqrt{201} - 1 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{5 - \sqrt{201} - 8}{8})}^{2} ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.3.2

Soustrayez $8$ de $5$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 {(\frac{- 3 - \sqrt{201}}{8})}^{2} ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{- 3 - \sqrt{201}}{8}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{{(- 3 - \sqrt{201})}^{2}}{8^{2}} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{{(- 3 - \sqrt{201})}^{2}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.4.3

Réécrivez ${(- 3 - \sqrt{201})}^{2}$ comme $(- 3 - \sqrt{201}) (- 3 - \sqrt{201})$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{(- 3 - \sqrt{201}) (- 3 - \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.5

Développez $(- 3 - \sqrt{201}) (- 3 - \sqrt{201})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 19.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{- 3 (- 3 - \sqrt{201}) - \sqrt{201} (- 3 - \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{- 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{201}) - \sqrt{201} (- 3 - \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{- 3 \cdot - 3 - 3 (- \sqrt{201}) - \sqrt{201} \cdot - 3 - \sqrt{201} (- \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.6.1.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 - 3 (- \sqrt{201}) - \sqrt{201} \cdot - 3 - \sqrt{201} (- \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} - \sqrt{201} \cdot - 3 - \sqrt{201} (- \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} - \sqrt{201} (- \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.4

Multipliez $- \sqrt{201} (- \sqrt{201})$ .

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Étape 19.2.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + 1 \sqrt{201} \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.4.2

Multipliez $\sqrt{201}$ par $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + \sqrt{201} \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + \sqrt{201} \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.4.4

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + \sqrt{201} \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + {\sqrt{201}}^{1 + 1}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + {\sqrt{201}}^{2}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{201}}^{2}$ comme $201$ .

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Étape 19.2.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{201}$ comme $201^{\frac{1}{2}}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + {(201^{\frac{1}{2}})}^{2}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + 201^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + 201^{\frac{2}{2}}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + 201^{\frac{2}{2}}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + 201}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{9 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} + 201}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.2

Additionnez $9$ et $201$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{210 + 3 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.6.3

Additionnez $3 \sqrt{201}$ et $3 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{210 + 6 \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.7

Annulez le facteur commun à $210 + 6 \sqrt{201}$ et $64$ .

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Étape 19.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $210$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105) + 6 \sqrt{201}}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105) + 2 (3 \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (105) + 2 (3 \sqrt{201})$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105 + 3 \sqrt{201})}{64} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105 + 3 \sqrt{201})}{2 \cdot 32} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{2 (105 + 3 \sqrt{201})}{2 \cdot 32} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - 5 \frac{105 + 3 \sqrt{201}}{32} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.8

Associez $- 5$ et $\frac{105 + 3 \sqrt{201}}{32}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = \frac{- 5 (105 + 3 \sqrt{201})}{32} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 + 3 \sqrt{201})}{32} \cdot (((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) + 2) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.10

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 + 3 \sqrt{201})}{32} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.11

Associez les fractions.

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Étape 19.2.11.1

Associez $2$ et $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 + 3 \sqrt{201})}{32} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}) ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3))$

Étape 19.2.11.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 + 3 \sqrt{201})}{32} \cdot \frac{5 - \sqrt{201} + 2 \cdot 8}{8} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.12.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 + 3 \sqrt{201})}{32} \cdot \frac{5 - \sqrt{201} + 16}{8} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.12.2

Additionnez $5$ et $16$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (105 + 3 \sqrt{201})}{32} \cdot \frac{21 - \sqrt{201}}{8} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.13

Multipliez $- \frac{5 (105 + 3 \sqrt{201})}{32} \cdot \frac{21 - \sqrt{201}}{8}$ .

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Étape 19.2.13.1

Multipliez $\frac{21 - \sqrt{201}}{8}$ par $\frac{5 (105 + 3 \sqrt{201})}{32}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(21 - \sqrt{201}) (5 (105 + 3 \sqrt{201}))}{8 \cdot 32} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.13.2

Multipliez $8$ par $32$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(21 - \sqrt{201}) (5 (105 + 3 \sqrt{201}))}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.14

Regroupez $105 + 3 \sqrt{201}$ et $21 - \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(105 + 3 \sqrt{201}) (21 - \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.15

Développez $(105 + 3 \sqrt{201}) (21 - \sqrt{201})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(105 (21 - \sqrt{201}) + 3 \sqrt{201} (21 - \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(105 \cdot 21 + 105 (- \sqrt{201}) + 3 \sqrt{201} (21 - \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(105 \cdot 21 + 105 (- \sqrt{201}) + 3 \sqrt{201} \cdot 21 + 3 \sqrt{201} (- \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.2.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.16.1.1

Multipliez $105$ par $21$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 + 105 (- \sqrt{201}) + 3 \sqrt{201} \cdot 21 + 3 \sqrt{201} (- \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.2

Multipliez $- 1$ par $105$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} \cdot 21 + 3 \sqrt{201} (- \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.3

Multipliez $21$ par $3$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} + 3 \sqrt{201} (- \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.4

Multipliez $3 \sqrt{201} (- \sqrt{201})$ .

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Étape 19.2.16.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 \sqrt{201} \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.4.2

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 (\sqrt{201} \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.4.3

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 (\sqrt{201} \sqrt{201})) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 {\sqrt{201}}^{1 + 1}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 {\sqrt{201}}^{2}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.5

Réécrivez ${\sqrt{201}}^{2}$ comme $201$ .

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Étape 19.2.16.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{201}$ comme $201^{\frac{1}{2}}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 {(201^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.16.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 3 \cdot 201) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.1.6

Multipliez $- 3$ par $201$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(2205 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201} - 603) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.2

Soustrayez $603$ de $2205$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(1602 - 105 \sqrt{201} + 63 \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.16.3

Additionnez $- 105 \sqrt{201}$ et $63 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(1602 - 42 \sqrt{201}) \cdot 5}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.17

Annulez le facteur commun à $1602 - 42 \sqrt{201}$ et $256$ .

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Étape 19.2.17.1

Factorisez $2$ à partir de $(1602 - 42 \sqrt{201}) \cdot 5$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((801 - 21 \sqrt{201}) \cdot 5)}{256} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((801 - 21 \sqrt{201}) \cdot 5)}{2 (128)} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((801 - 21 \sqrt{201}) \cdot 5)}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 - 21 \sqrt{201}) \cdot 5}{128} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.18

Déplacez $5$ à gauche de $801 - 21 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 \cdot (801 - 21 \sqrt{201})}{128} \cdot ((\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) - 3)$

Étape 19.2.19

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 - 21 \sqrt{201})}{128} \cdot (\frac{5 - \sqrt{201}}{8} - 3 \cdot \frac{8}{8})$

Étape 19.2.20

Associez les fractions.

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Étape 19.2.20.1

Associez $- 3$ et $\frac{8}{8}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 - 21 \sqrt{201})}{128} \cdot (\frac{5 - \sqrt{201}}{8} + \frac{- 3 \cdot 8}{8})$

Étape 19.2.20.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 - 21 \sqrt{201})}{128} \cdot \frac{5 - \sqrt{201} - 3 \cdot 8}{8}$

Étape 19.2.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.21.1

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 - 21 \sqrt{201})}{128} \cdot \frac{5 - \sqrt{201} - 24}{8}$

Étape 19.2.21.2

Soustrayez $24$ de $5$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (801 - 21 \sqrt{201})}{128} \cdot \frac{- 19 - \sqrt{201}}{8}$

Étape 19.2.22

Multipliez $- \frac{5 (801 - 21 \sqrt{201})}{128} \cdot \frac{- 19 - \sqrt{201}}{8}$ .

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Étape 19.2.22.1

Multipliez $\frac{- 19 - \sqrt{201}}{8}$ par $\frac{5 (801 - 21 \sqrt{201})}{128}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 19 - \sqrt{201}) (5 (801 - 21 \sqrt{201}))}{8 \cdot 128}$

Étape 19.2.22.2

Multipliez $8$ par $128$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 19 - \sqrt{201}) (5 (801 - 21 \sqrt{201}))}{1024}$

Étape 19.2.23

Regroupez $801 - 21 \sqrt{201}$ et $- 19 - \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 - 21 \sqrt{201}) (- 19 - \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.24

Développez $(801 - 21 \sqrt{201}) (- 19 - \sqrt{201})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 19.2.24.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 (- 19 - \sqrt{201}) - 21 \sqrt{201} (- 19 - \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.24.2

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 \cdot - 19 + 801 (- \sqrt{201}) - 21 \sqrt{201} (- 19 - \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.24.3

Appliquez la propriété distributive.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(801 \cdot - 19 + 801 (- \sqrt{201}) - 21 \sqrt{201} \cdot - 19 - 21 \sqrt{201} (- \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.2.25.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.25.1.1

Multipliez $801$ par $- 19$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 + 801 (- \sqrt{201}) - 21 \sqrt{201} \cdot - 19 - 21 \sqrt{201} (- \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.2

Multipliez $- 1$ par $801$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} - 21 \sqrt{201} \cdot - 19 - 21 \sqrt{201} (- \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.3

Multipliez $- 19$ par $- 21$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} - 21 \sqrt{201} (- \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.4

Multipliez $- 21 \sqrt{201} (- \sqrt{201})$ .

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Étape 19.2.25.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 21$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 \sqrt{201} \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.4.2

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 (\sqrt{201} \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.4.3

Élevez $\sqrt{201}$ à la puissance $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 (\sqrt{201} \sqrt{201})) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 {\sqrt{201}}^{1 + 1}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 {\sqrt{201}}^{2}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.5

Réécrivez ${\sqrt{201}}^{2}$ comme $201$ .

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Étape 19.2.25.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{201}$ comme $201^{\frac{1}{2}}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 {(201^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.25.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 21 \cdot 201) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.1.6

Multipliez $21$ par $201$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 15219 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201} + 4221) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.2

Additionnez $- 15219$ et $4221$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 10998 - 801 \sqrt{201} + 399 \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.25.3

Additionnez $- 801 \sqrt{201}$ et $399 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 10998 - 402 \sqrt{201}) \cdot 5}{1024}$

Étape 19.2.26

Annulez le facteur commun à $- 10998 - 402 \sqrt{201}$ et $1024$ .

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Étape 19.2.26.1

Factorisez $2$ à partir de $(- 10998 - 402 \sqrt{201}) \cdot 5$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((- 5499 - 201 \sqrt{201}) \cdot 5)}{1024}$

Étape 19.2.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $1024$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((- 5499 - 201 \sqrt{201}) \cdot 5)}{2 (512)}$

Étape 19.2.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{2 ((- 5499 - 201 \sqrt{201}) \cdot 5)}{2 \cdot 512}$

Étape 19.2.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{(- 5499 - 201 \sqrt{201}) \cdot 5}{512}$

Étape 19.2.27

Déplacez $5$ à gauche de $- 5499 - 201 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 \cdot (- 5499 - 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 19.2.28

Réécrivez $- 5499$ comme $- 1 (5499)$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (- 1 \cdot 5499 - 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 19.2.29

Factorisez $- 1$ à partir de $- 201 \sqrt{201}$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (- 1 \cdot 5499 - (201 \sqrt{201}))}{512}$

Étape 19.2.30

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5499) - (201 \sqrt{201})$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = - \frac{5 (- 1 (5499 + 201 \sqrt{201}))}{512}$

Étape 19.2.31

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.2.31.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = \frac{5 (5499 + 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 19.2.31.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = 1 (\frac{5 (5499 + 201 \sqrt{201})}{512})$

Étape 19.2.31.3

Multipliez $\frac{5 (5499 + 201 \sqrt{201})}{512}$ par $1$ .

$g (\frac{5 - \sqrt{201}}{8}) = \frac{5 (5499 + 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 19.2.32

La réponse finale est $\frac{5 (5499 + 201 \sqrt{201})}{512}$ .

$y = \frac{5 (5499 + 201 \sqrt{201})}{512}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = - 5 {(x - 1)}^{2} (x + 2) (x - 3)$ .

$(1, 0)$ est un minimum local

$(\frac{5 + \sqrt{201}}{8}, \frac{5 (5499 - 201 \sqrt{201})}{512})$ est un maximum local

$(\frac{5 - \sqrt{201}}{8}, \frac{5 (5499 + 201 \sqrt{201})}{512})$ est un maximum local

Étape 21