Calcul infinitésimal Exemples

$V (x) = x (10 - 2 x) (16 - 2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x (10 - 2 x)$ et $g (x) = 16 - 2 x$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [16 - 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 1.2.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (10 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 1.2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x (10 - 2 x) \cdot - 2 + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x (10 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (10 - 2 x)) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 10 - 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [10 - 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \cdot - 2 + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 \cdot x + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + (10 - 2 x) \cdot 1)$

Étape 1.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.4.8.1

Multipliez $10 - 2 x$ par $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + 10 - 2 x)$

Étape 1.4.8.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Étape 1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.5.1

Multipliez $10$ par $- 2$ .

$- 20 x - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- 20 x + 4 x \cdot x + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 20 x + 4 x^{1 + 1} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.7

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.8

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x \cdot x + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{1 + 1} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.13

Multipliez $16$ par $10$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 2 x \cdot 10$

Étape 1.5.5.14

Multipliez $10$ par $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 20 x$

Étape 1.5.5.15

Soustrayez $20 x$ de $- 64 x$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 84 x + 8 x^{2} + 160$

Étape 1.5.5.16

Soustrayez $84 x$ de $- 20 x$ .

$4 x^{2} - 104 x + 8 x^{2} + 160$

Étape 1.5.5.17

Additionnez $4 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 104 x + 160$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 104 x] + \frac{d}{d x} [160]$ .

$V'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$V'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$V'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$V'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 104 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 104$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 104 x$ par rapport à $x$ est $- 104 \frac{d}{d x} [x]$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (160)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (160)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 104$ par $1$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 + \frac{d}{d x} (160)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $160$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $160$ par rapport à $x$ est $0$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $24 x - 104$ et $0$ .

$V'' (x) = 24 x - 104$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [16 - 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 4.1.2.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (10 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 4.1.2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x (10 - 2 x) \cdot - 2 + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 4.1.2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x (10 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (10 - 2 x)) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 10 - 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [10 - 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.4.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \cdot - 2 + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 \cdot x + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + (10 - 2 x) \cdot 1)$

Étape 4.1.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.4.8.1

Multipliez $10 - 2 x$ par $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + 10 - 2 x)$

Étape 4.1.4.8.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.5.1

Multipliez $10$ par $- 2$ .

$- 20 x - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- 20 x + 4 x \cdot x + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 20 x + 4 x^{1 + 1} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.7

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.8

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x \cdot x + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{1 + 1} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.13

Multipliez $16$ par $10$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 2 x \cdot 10$

Étape 4.1.5.5.14

Multipliez $10$ par $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 20 x$

Étape 4.1.5.5.15

Soustrayez $20 x$ de $- 64 x$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 84 x + 8 x^{2} + 160$

Étape 4.1.5.5.16

Soustrayez $84 x$ de $- 20 x$ .

$4 x^{2} - 104 x + 8 x^{2} + 160$

Étape 4.1.5.5.17

Additionnez $4 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 104 x + 160$

Étape 4.2

La dérivée première de $V (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 104 x + 160$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{2} - 104 x + 160$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 104 x + 160 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 104 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x) + 160 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $160$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x) + 4 (40) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x) + 4 (40) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 x^{2} - 26 x) + 4 (40)$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x + 40) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 40 = 120$ et dont la somme est $b = - 26$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Factorisez $- 26$ à partir de $- 26 x$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x + 40) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 26$ comme $- 6$ plus $- 20$

$4 (3 x^{2} + (- 6 - 20) x + 40) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 x^{2} - 6 x - 20 x + 40) = 0$

Étape 5.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$4 ((3 x^{2} - 6 x) - 20 x + 40) = 0$

Étape 5.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 (3 x (x - 2) - 20 (x - 2)) = 0$

Étape 5.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 2$ .

$4 ((x - 2) (3 x - 20)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 2) (3 x - 20) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x - 20 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.5

Définissez $3 x - 20$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $3 x - 20$ égal à $0$ .

$3 x - 20 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $3 x - 20 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 20$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 20$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 20$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{20}{3}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 2) (3 x - 20) = 0$ vraie.

$x = 2, \frac{20}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2, \frac{20}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$24 (2) - 104$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $24$ par $2$ .

$48 - 104$

Étape 9.2

Soustrayez $104$ de $48$ .

$- 56$

Étape 10

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$V (2) = (2) (10 - 2 \cdot 2) (16 - 2 \cdot 2)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$V (2) = 2 (10 - 4) (16 - 2 \cdot 2)$

Étape 11.2.2

Soustrayez $4$ de $10$ .

$V (2) = 2 \cdot (6 (16 - 2 \cdot 2))$

Étape 11.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$V (2) = 12 (16 - 2 \cdot 2)$

Étape 11.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$V (2) = 12 (16 - 4)$

Étape 11.2.5

Soustrayez $4$ de $16$ .

$V (2) = 12 \cdot 12$

Étape 11.2.6

Multipliez $12$ par $12$ .

$V (2) = 144$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $144$ .

$y = 144$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{20}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$24 (\frac{20}{3}) - 104$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$3 (8) \frac{20}{3} - 104$

Étape 13.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 8 \frac{20}{3} - 104$

Étape 13.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot 20 - 104$

Étape 13.1.2

Multipliez $8$ par $20$ .

$160 - 104$

Étape 13.2

Soustrayez $104$ de $160$ .

$56$

Étape 14

$x = \frac{20}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{20}{3}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{20}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{20}{3}$ dans l’expression.

$V (\frac{20}{3}) = (\frac{20}{3}) (10 - 2 (\frac{20}{3})) (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $- 2 (\frac{20}{3})$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{20}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 + \frac{- 2 \cdot 20}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Étape 15.2.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $20$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 + \frac{- 40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Étape 15.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Étape 15.2.2

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Étape 15.2.3

Associez $10$ et $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((\frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{10 \cdot 3 - 40}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Étape 15.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{30 - 40}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $40$ de $30$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{- 10}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Étape 15.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot (- \frac{10}{3}) \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Étape 15.2.7

Multipliez $\frac{20}{3} (- \frac{10}{3})$ .

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Étape 15.2.7.1

Multipliez $\frac{20}{3}$ par $\frac{10}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{20 \cdot 10}{3 \cdot 3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Étape 15.2.7.2

Multipliez $20$ par $10$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{3 \cdot 3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Étape 15.2.7.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Étape 15.2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.8.1

Multipliez $- 2 (\frac{20}{3})$ .

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Étape 15.2.8.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{20}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 + \frac{- 2 \cdot 20}{3})$

Étape 15.2.8.1.2

Multipliez $- 2$ par $20$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 + \frac{- 40}{3})$

Étape 15.2.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 - \frac{40}{3})$

Étape 15.2.9

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3})$

Étape 15.2.10

Associez $16$ et $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3})$

Étape 15.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{16 \cdot 3 - 40}{3}$

Étape 15.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.12.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{48 - 40}{3}$

Étape 15.2.12.2

Soustrayez $40$ de $48$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{8}{3}$

Étape 15.2.13

Multipliez $- \frac{200}{9} \cdot \frac{8}{3}$ .

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Étape 15.2.13.1

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{200}{9}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{8 \cdot 200}{3 \cdot 9}$

Étape 15.2.13.2

Multipliez $8$ par $200$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{1600}{3 \cdot 9}$

Étape 15.2.13.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{1600}{27}$

Étape 15.2.14

La réponse finale est $- \frac{1600}{27}$ .

$y = - \frac{1600}{27}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $V (x) = x (10 - 2 x) (16 - 2 x)$ .

$(2, 144)$ est un maximum local

$(\frac{20}{3}, - \frac{1600}{27})$ est un minimum local

Étape 17