Calcul infinitésimal Exemples

$v (t) = 70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $70$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $70$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 35$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ par rapport à $t$ est $- 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t + 3$ .

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Étape 1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.8

Déplacez $2$ à gauche de ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 35 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.12

Multipliez les exposants dans ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.2.13

Associez $- 35$ et $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $2$ par $35$ .

$0 - \frac{70 ({(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.3.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{1 + 2}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{3}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.3.5

Multipliez $- 2$ par $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.3.7

Multipliez $- 6$ par $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.3.8

Soustrayez $\frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ de $0$ .

$- \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.1

Factorisez $70 t$ à partir de $70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}$ .

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Étape 1.3.4.1.1

Factorisez $70 t$ à partir de $70 {(t + 3)}^{2} t$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.1.2

Factorisez $70 t$ à partir de $- 70 t^{3}$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.1.3

Factorisez $70 t$ à partir de $- 210 t^{2}$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.1.4

Factorisez $70 t$ à partir de $70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2})$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.1.5

Factorisez $70 t$ à partir de $70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.2

Réécrivez ${(t + 3)}^{2}$ comme $(t + 3) (t + 3)$ .

$- \frac{70 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.3

Développez $(t + 3) (t + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{70 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.4.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.4.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.4.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.4.2

Additionnez $3 t$ et $3 t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.5

Soustrayez $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.6

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.7

Soustrayez $3 t$ de $6 t$ .

$- \frac{70 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.8

Factorisez $3$ à partir de $3 t + 9$ .

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Étape 1.3.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t$ .

$- \frac{70 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.8.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{70 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.8.3

Factorisez $3$ à partir de $3 t + 3 \cdot 3$ .

$- \frac{70 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{70 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.4.9

Multipliez $3$ par $70$ .

$- \frac{210 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun à $t + 3$ et ${(t + 3)}^{4}$ .

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Étape 1.3.5.1

Factorisez $t + 3$ à partir de $210 t (t + 3)$ .

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.2.1

Factorisez $t + 3$ à partir de ${(t + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Étape 1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Étape 1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 210$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$ par rapport à $t$ est $- 210 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{d}{d t} \frac{t}{{(t + 3)}^{3}}$

Étape 2.2

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{({(t + 3)}^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(t + 3)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.3.3

Multipliez ${(t + 3)}^{3}$ par $1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t \frac{d}{d t} {(t + 3)}^{3}}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t + 3$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 3$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t (3 u^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 3$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - t (3 {(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{3} - 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.5.2

Factorisez ${(t + 3)}^{2}$ à partir de ${(t + 3)}^{3} - 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3])$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez ${(t + 3)}^{2}$ à partir de ${(t + 3)}^{3}$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3) - 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez ${(t + 3)}^{2}$ à partir de $- 3 t ({(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3])$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3) + {(t + 3)}^{2} (- 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez ${(t + 3)}^{2}$ à partir de ${(t + 3)}^{2} (t + 3) + {(t + 3)}^{2} (- 3 t (\frac{d}{d t} [t + 3]))$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{6}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez ${(t + 3)}^{2}$ à partir de ${(t + 3)}^{6}$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{2} {(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$v'' (t) = - 210 \frac{{(t + 3)}^{2} (t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3)))}{{(t + 3)}^{2} {(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (1 + \frac{d}{d t} (3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t (1 + 0)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez les termes.

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Étape 2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t \cdot 1}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{t + 3 - 3 t}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.10.3

Soustrayez $3 t$ de $t$ .

$v'' (t) = - 210 \frac{- 2 t + 3}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.10.4

Associez $- 210$ et $\frac{- 2 t + 3}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$v'' (t) = \frac{- 210 (- 2 t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t) + 210 \cdot 3}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.2.1

Multipliez $- 2$ par $210$ .

$v'' (t) = - \frac{- 420 t + 210 \cdot 3}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.2.2

Multipliez $210$ par $3$ .

$v'' (t) = - \frac{- 420 t + 630}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.3

Factorisez $210$ à partir de $- 420 t + 630$ .

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Étape 2.11.3.1

Factorisez $210$ à partir de $- 420 t$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t) + 630}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.3.2

Factorisez $210$ à partir de $630$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t) + 210 (3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.3.3

Factorisez $210$ à partir de $210 (- 2 t) + 210 (3)$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- 2 t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 t$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- (2 t) + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.5

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- (2 t) - 1 \cdot - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 t) - 1 (- 3)$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- (2 t - 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.7

Réécrivez $- (2 t - 3)$ comme $- 1 (2 t - 3)$ .

$v'' (t) = - \frac{210 (- 1 (2 t - 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$v'' (t) = \frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 2.11.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$v'' (t) = 1 (\frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}})$

Étape 2.11.10

Multipliez $\frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ par $1$ .

$v'' (t) = \frac{210 (2 t - 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [70] + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $70$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $70$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 35$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ par rapport à $t$ est $- 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 35 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Étape 4.1.2.2

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t + 3$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 3$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.7

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 - 35 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.8

Déplacez $2$ à gauche de ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 35 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2.12

Multipliez les exposants dans ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 - 35 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.2.13

Associez $- 35$ et $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$0 - \frac{35 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $35$ .

$0 - \frac{70 ({(t + 3)}^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} t) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{1 + 2}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t + 35 (- 2 t^{3}) + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3.5

Multipliez $- 2$ par $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} + 35 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3.7

Multipliez $- 6$ par $35$ .

$0 - \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.3.8

Soustrayez $\frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ de $0$ .

$- \frac{70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.4.1

Factorisez $70 t$ à partir de $70 {(t + 3)}^{2} t - 70 t^{3} - 210 t^{2}$ .

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Étape 4.1.3.4.1.1

Factorisez $70 t$ à partir de $70 {(t + 3)}^{2} t$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) - 70 t^{3} - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.1.2

Factorisez $70 t$ à partir de $- 70 t^{3}$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) - 210 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.1.3

Factorisez $70 t$ à partir de $- 210 t^{2}$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.1.4

Factorisez $70 t$ à partir de $70 t ({(t + 3)}^{2}) + 70 t (- t^{2})$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.1.5

Factorisez $70 t$ à partir de $70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 70 t (- 3 t)$ .

$- \frac{70 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.2

Réécrivez ${(t + 3)}^{2}$ comme $(t + 3) (t + 3)$ .

$- \frac{70 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.3

Développez $(t + 3) (t + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.3.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{70 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{70 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.4.4.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.4.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.4.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.4.2

Additionnez $3 t$ et $3 t$ .

$- \frac{70 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.5

Soustrayez $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.6

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$- \frac{70 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.7

Soustrayez $3 t$ de $6 t$ .

$- \frac{70 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.8

Factorisez $3$ à partir de $3 t + 9$ .

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Étape 4.1.3.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t$ .

$- \frac{70 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.8.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{70 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.8.3

Factorisez $3$ à partir de $3 t + 3 \cdot 3$ .

$- \frac{70 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{70 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.4.9

Multipliez $3$ par $70$ .

$- \frac{210 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.5

Annulez le facteur commun à $t + 3$ et ${(t + 3)}^{4}$ .

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Étape 4.1.3.5.1

Factorisez $t + 3$ à partir de $210 t (t + 3)$ .

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Étape 4.1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.5.2.1

Factorisez $t + 3$ à partir de ${(t + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Étape 4.1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(t + 3) (210 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Étape 4.1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (t) = - \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $v (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$210 t = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $210 t = 0$ par $210$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $210 t = 0$ par $210$ .

$\frac{210 t}{210} = \frac{0}{210}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $210$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{210 t}{210} = \frac{0}{210}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{0}{210}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $210$ .

$t = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{210 t}{{(t + 3)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(t + 3)}^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $t$ .

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Étape 6.2.1

Définissez le $t + 3$ égal à $0$ .

$t + 3 = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 3$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{210 (2 (0) - 3)}{{((0) + 3)}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{210 (0 - 3)}{{(0 + 3)}^{4}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{210 \cdot - 3}{{(0 + 3)}^{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{210 \cdot - 3}{3^{4}}$

Étape 9.2.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{210 \cdot - 3}{81}$

Étape 9.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.3.1

Multipliez $210$ par $- 3$ .

$\frac{- 630}{81}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $- 630$ et $81$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 630$ .

$\frac{9 (- 70)}{81}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$\frac{9 \cdot - 70}{9 \cdot 9}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \cdot - 70}{9 \cdot 9}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 70}{9}$

Étape 9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{70}{9}$

Étape 10

$t = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $t = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $t$ par $0$ dans l’expression.

$v (0) = 70 - \frac{35 {(0)}^{2}}{{((0) + 3)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 \cdot 0}{{(0 + 3)}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 \cdot 0}{3^{2}}$

Étape 11.2.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$v (0) = 70 - \frac{35 \cdot 0}{9}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $35$ par $0$ .

$v (0) = 70 - \frac{0}{9}$

Étape 11.2.1.4

Divisez $0$ par $9$ .

$v (0) = 70 - 0$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$v (0) = 70 + 0$

Étape 11.2.2

Additionnez $70$ et $0$ .

$v (0) = 70$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $70$ .

$y = 70$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $v (t) = 70 - \frac{35 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$(0, 70)$ est un maximum local

Étape 13