Calcul infinitésimal Exemples

$v (r) = k (28 r^{2} - r^{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $k$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $k (28 r^{2} - r^{3})$ par rapport à $r$ est $k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $28 r^{2} - r^{3}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 1.3

Comme $28$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $28 r^{2}$ par rapport à $r$ est $28 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (28 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$k (28 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 1.5

Multipliez $2$ par $28$ .

$k (56 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 1.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- r^{3}$ par rapport à $r$ est $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (56 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$k (56 r - (3 r^{2}))$

Étape 1.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$k (56 r - 3 r^{2})$

Étape 1.9

Simplifiez

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Étape 1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (56 r) + k (- 3 r^{2})$

Étape 1.9.2

Déplacez $56$ à gauche de $k$ .

$56 k r + k (- 3 r^{2})$

Étape 1.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$56 k r - 3 r^{2} k$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $56 k r - 3 r^{2} k$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [56 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$v'' (r) = \frac{d}{d r} (56 k r) + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d r} [56 k r]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $56 k$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $56 k r$ par rapport à $r$ est $56 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$v'' (r) = 56 k \frac{d}{d r} (r) + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$v'' (r) = 56 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Étape 2.2.3

Multipliez $56$ par $1$ .

$v'' (r) = 56 k + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3 k$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- 3 r^{2} k$ par rapport à $r$ est $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$v'' (r) = 56 k - 3 k \frac{d}{d r} r^{2}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$v'' (r) = 56 k - 3 k (2 r)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$v'' (r) = 56 k - 6 k r$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$v'' (r) = - 6 k r + 56 k$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$56 k r - 3 r^{2} k = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $k$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $k (28 r^{2} - r^{3})$ par rapport à $r$ est $k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $28 r^{2} - r^{3}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 4.1.3

Comme $28$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $28 r^{2}$ par rapport à $r$ est $28 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (28 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$k (28 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 4.1.5

Multipliez $2$ par $28$ .

$k (56 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 4.1.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- r^{3}$ par rapport à $r$ est $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (56 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Étape 4.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$k (56 r - (3 r^{2}))$

Étape 4.1.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$k (56 r - 3 r^{2})$

Étape 4.1.9

Simplifiez

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Étape 4.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (56 r) + k (- 3 r^{2})$

Étape 4.1.9.2

Déplacez $56$ à gauche de $k$ .

$56 k r + k (- 3 r^{2})$

Étape 4.1.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (r) = 56 k r - 3 r^{2} k$

Étape 4.2

La dérivée première de $v (r)$ par rapport à $r$ est $56 k r - 3 r^{2} k$ .

$56 k r - 3 r^{2} k$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $56 k r - 3 r^{2} k = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$56 k r - 3 r^{2} k = 0$

Étape 5.2

Factorisez $k r$ à partir de $56 k r - 3 r^{2} k$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $k r$ à partir de $56 k r$ .

$k r (56) - 3 r^{2} k = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $k r$ à partir de $- 3 r^{2} k$ .

$k r (56) + k r (- 3 r) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $k r$ à partir de $k r (56) + k r (- 3 r)$ .

$k r (56 - 3 r) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r = 0$

$56 - 3 r = 0$

Étape 5.4

Définissez $r$ égal à $0$ .

$r = 0$

Étape 5.5

Définissez $56 - 3 r$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $56 - 3 r$ égal à $0$ .

$56 - 3 r = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $56 - 3 r = 0$ pour $r$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $56$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 r = - 56$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 r = - 56$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 r = - 56$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 r}{- 3} = \frac{- 56}{- 3}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 r}{- 3} = \frac{- 56}{- 3}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{- 56}{- 3}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$r = \frac{56}{3}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $k r (56 - 3 r) = 0$ vraie.

$r = 0, \frac{56}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$r = 0, \frac{56}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $r = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 k \cdot 0 + 56 k$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $- 6 k \cdot 0$ .

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Étape 9.1.1

Multipliez $0$ par $- 6$ .

$0 k + 56 k$

Étape 9.1.2

Multipliez $0$ par $k$ .

$0 + 56 k$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $56 k$ .

$56 k$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11