Calcul infinitésimal Exemples

$u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{x^{2}}{1000} + \frac{x y^{2}}{100}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 1.2

Comme $20 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $20 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $70$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $70 y$ par rapport à $y$ est $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $70$ par $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 1.4

Comme $\frac{x^{2}}{1000}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{1000}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $\frac{x}{100}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x y^{2}}{100}$ par rapport à $y$ est $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Étape 1.5.3

Associez $2$ et $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Étape 1.5.4

Associez $\frac{2 x}{100}$ et $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Étape 1.5.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $100$ .

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Étape 1.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Étape 1.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Étape 1.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Étape 1.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Associez des termes.

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Étape 1.6.1.1

Additionnez $0$ et $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Étape 1.6.1.2

Additionnez $70$ et $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x y}{50} + 70$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x y}{50} + 70$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}] + \frac{d}{d y} [70]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x y}{50}) + \frac{d}{d y} (70)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{x}{50}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x y}{50}$ par rapport à $y$ est $\frac{x}{50} \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot \frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (70)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot 1 + \frac{d}{d y} (70)$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{x}{50}$ par $1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + \frac{d}{d y} (70)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $70$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $70$ par rapport à $y$ est $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $\frac{x}{50}$ et $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 4.1.2

Comme $20 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $20 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $70$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $70 y$ par rapport à $y$ est $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $70$ par $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 4.1.4

Comme $\frac{x^{2}}{1000}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{1000}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $\frac{x}{100}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x y^{2}}{100}$ par rapport à $y$ est $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Étape 4.1.5.3

Associez $2$ et $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Étape 4.1.5.4

Associez $\frac{2 x}{100}$ et $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Étape 4.1.5.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $100$ .

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Étape 4.1.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Étape 4.1.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Étape 4.1.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Étape 4.1.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.1.1

Additionnez $0$ et $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Étape 4.1.6.1.2

Additionnez $70$ et $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Étape 4.1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (y) = \frac{x y}{50} + 70$

Étape 4.2

La dérivée première de $u (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{x y}{50} + 70$ .

$\frac{x y}{50} + 70$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x y}{50} + 70 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $70$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x y}{50} = - 70$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $50$ .

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Étape 5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Étape 5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x y = 50 \cdot - 70$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Multipliez $50$ par $- 70$ .

$x y = - 3500$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $x y = - 3500$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $x y = - 3500$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 3500}{x}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3500}{x}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$y = - \frac{3500}{x}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $y = - \frac{3500}{x}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{x}{50}$

Étape 9

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 9.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $y$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 9.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{x y}{50} + 70$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 9.2.1

Remplacez la variable $y$ par $0$ dans l’expression.

$u' (0) = \frac{x (0)}{50} + 70$

Étape 9.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $50$ .

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Étape 9.2.2.1.1.1

Factorisez $50$ à partir de $x (0)$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50} + 70$

Étape 9.2.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1.1.2.1

Factorisez $50$ à partir de $50$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 (1)} + 70$

Étape 9.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 \cdot 1} + 70$

Étape 9.2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u' (0) = \frac{x \cdot (0)}{1} + 70$

Étape 9.2.2.1.1.2.4

Divisez $x \cdot (0)$ par $1$ .

$u' (0) = x \cdot (0) + 70$

Étape 9.2.2.1.2

Multipliez $x$ par $0$ .

$u' (0) = 0 + 70$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $0$ et $70$ .

$u' (0) = 70$

Étape 9.2.2.3

La réponse finale est $70$ .

$70$

Étape 9.3

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 10