Calcul infinitésimal Exemples

$r (x) = (40000 + \frac{10000}{3} x) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{10000}{3}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)]$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{10000}{3}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 40000 + \frac{10000 x}{3}$ et $g (x) = 30 - x$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \frac{d}{d x} [30 - x] + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.3

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.7

Comme $40000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.8

Comme $\frac{10000}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10000 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.11

Soustrayez $1$ de $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot - 1 + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.12

Déplacez $- 1$ à gauche de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- 1 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.13

Réécrivez $- 1 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ comme $- (40000 + \frac{10000 x}{3})$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.14

Multipliez $\frac{10000}{3}$ par $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3}) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.2.15

Additionnez $0$ et $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ .

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Étape 1.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [6 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3})]$

Étape 1.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Étape 1.3.4

Comme $40000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Étape 1.3.5

Comme $\frac{10000}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10000 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1)$

Étape 1.3.7

Multipliez $\frac{10000}{3}$ par $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3})$

Étape 1.3.8

Additionnez $0$ et $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{10000}{3})$

Étape 1.3.9

Associez $6$ et $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{6 \cdot 10000}{3}$

Étape 1.3.10

Multipliez $6$ par $10000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{60000}{3}$

Étape 1.3.11

Annulez le facteur commun à $60000$ et $3$ .

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Étape 1.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $60000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3}$

Étape 1.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 (1)}$

Étape 1.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 \cdot 1}$

Étape 1.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{20000}{1}$

Étape 1.3.11.2.4

Divisez $20000$ par $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $40000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.2

Associez $30$ et $\frac{10000}{3}$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{30 \cdot 10000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.3

Multipliez $30$ par $10000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{300000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.4

Annulez le facteur commun à $300000$ et $3$ .

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Étape 1.4.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $300000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 (1)} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 \cdot 1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{100000}{1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.4.2.4

Divisez $100000$ par $1$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.5

Associez $\frac{10000}{3}$ et $x$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $- 40000$ et $100000$ .

$- \frac{10000 x}{3} + 60000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Étape 1.4.3.7

Soustrayez $\frac{10000 x}{3}$ de $- \frac{10000 x}{3}$ .

$- 2 \frac{10000 x}{3} + 60000 + 20000$

Étape 1.4.3.8

Associez $- 2$ et $\frac{10000 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (10000 x)}{3} + 60000 + 20000$

Étape 1.4.3.9

Multipliez $10000$ par $- 2$ .

$\frac{- 20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Étape 1.4.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Étape 1.4.3.11

Additionnez $60000$ et $20000$ .

$- \frac{20000 x}{3} + 80000$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{20000 x}{3} + 80000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{20000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [80000]$ .

$r'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{20000 x}{3}) + \frac{d}{d x} (80000)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{20000 x}{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{20000}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{20000 x}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{20000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (80000)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (80000)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} + \frac{d}{d x} (80000)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $80000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $80000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{20000}{3}$ et $0$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 4.1.1.1

Associez $\frac{10000}{3}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)]$

Étape 4.1.1.2

Associez $\frac{10000}{3}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.1.3

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)]$ .

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Étape 4.1.2.1

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \frac{d}{d x} [30 - x] + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.3

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.7

Comme $40000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.8

Comme $\frac{10000}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10000 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.11

Soustrayez $1$ de $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot - 1 + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.12

Déplacez $- 1$ à gauche de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- 1 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.13

Réécrivez $- 1 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ comme $- (40000 + \frac{10000 x}{3})$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $\frac{10000}{3}$ par $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3}) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.2.15

Additionnez $0$ et $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [6 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3})]$

Étape 4.1.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$

Étape 4.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Étape 4.1.3.4

Comme $40000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Étape 4.1.3.5

Comme $\frac{10000}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10000 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1)$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $\frac{10000}{3}$ par $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3})$

Étape 4.1.3.8

Additionnez $0$ et $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{10000}{3})$

Étape 4.1.3.9

Associez $6$ et $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{6 \cdot 10000}{3}$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $6$ par $10000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{60000}{3}$

Étape 4.1.3.11

Annulez le facteur commun à $60000$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $60000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3}$

Étape 4.1.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 (1)}$

Étape 4.1.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{20000}{1}$

Étape 4.1.3.11.2.4

Divisez $20000$ par $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $40000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.2

Associez $30$ et $\frac{10000}{3}$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{30 \cdot 10000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.3

Multipliez $30$ par $10000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{300000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.4

Annulez le facteur commun à $300000$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $300000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 (1)} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 \cdot 1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{100000}{1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.4.2.4

Divisez $100000$ par $1$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - x \frac{10000}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.5

Associez $\frac{10000}{3}$ et $x$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.6

Additionnez $- 40000$ et $100000$ .

$- \frac{10000 x}{3} + 60000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Étape 4.1.4.3.7

Soustrayez $\frac{10000 x}{3}$ de $- \frac{10000 x}{3}$ .

$- 2 \frac{10000 x}{3} + 60000 + 20000$

Étape 4.1.4.3.8

Associez $- 2$ et $\frac{10000 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (10000 x)}{3} + 60000 + 20000$

Étape 4.1.4.3.9

Multipliez $10000$ par $- 2$ .

$\frac{- 20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Étape 4.1.4.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Étape 4.1.4.3.11

Additionnez $60000$ et $20000$ .

$f' (x) = - \frac{20000 x}{3} + 80000$

Étape 4.2

La dérivée première de $r (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{20000 x}{3} + 80000$ .

$- \frac{20000 x}{3} + 80000$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $80000$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{20000 x}{3} = - 80000$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{3}{20000}$ .

$- \frac{3}{20000} (- \frac{20000 x}{3}) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Simplifiez $- \frac{3}{20000} (- \frac{20000 x}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{20000}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{20000} (- \frac{20000 x}{3}) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{20000 x}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{20000} (- 20000 x) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $20000$ .

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Étape 5.4.1.1.2.1

Factorisez $20000$ à partir de $- 20000 x$ .

$\frac{- 1}{20000} (20000 (- x)) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{20000} (20000 (- x)) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.1.1.3

Multipliez.

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Étape 5.4.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $- \frac{3}{20000} \cdot - 80000$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $20000$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{20000}$ dans le numérateur.

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot - 80000$

Étape 5.4.2.1.1.2

Factorisez $20000$ à partir de $- 80000$ .

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot (20000 (- 4))$

Étape 5.4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot (20000 \cdot - 4)$

Étape 5.4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = - 3 \cdot - 4$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$x = 12$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 12$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 12$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{20000}{3}$

Étape 9

$x = 12$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 12$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = 12$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $12$ dans l’expression.

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.1.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 (4))) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Étape 10.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 \cdot 4)) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Étape 10.2.1.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$r (12) = (40000 + 10000 \cdot 4) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Étape 10.2.1.1.2

Multipliez $10000$ par $4$ .

$r (12) = (40000 + 40000) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Étape 10.2.1.2

Additionnez $40000$ et $40000$ .

$r (12) = 80000 (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$r (12) = 80000 (30 - 12) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Étape 10.2.1.4

Soustrayez $12$ de $30$ .

$r (12) = 80000 \cdot 18 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Étape 10.2.1.5

Multipliez $80000$ par $18$ .

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Étape 10.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.6.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.1.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 (4))) \cdot 6$

Étape 10.2.1.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 6$

Étape 10.2.1.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$r (12) = 1440000 + (40000 + 10000 \cdot 4) \cdot 6$

Étape 10.2.1.6.2

Multipliez $10000$ par $4$ .

$r (12) = 1440000 + (40000 + 40000) \cdot 6$

Étape 10.2.1.7

Additionnez $40000$ et $40000$ .

$r (12) = 1440000 + 80000 \cdot 6$

Étape 10.2.1.8

Multipliez $80000$ par $6$ .

$r (12) = 1440000 + 480000$

Étape 10.2.2

Additionnez $1440000$ et $480000$ .

$r (12) = 1920000$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $1920000$ .

$y = 1920000$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $r (x) = (40000 + \frac{10000}{3} x) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)$ .

$(12, 1920000)$ est un maximum local

Étape 12