Calcul infinitésimal Exemples

$S (t) = 68 - 20 \ln (t + 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $68 - 20 \ln (t + 1)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [68] + \frac{d}{d t} [- 20 \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [68] + \frac{d}{d t} [- 20 \ln (t + 1)]$

Étape 1.1.2

Comme $68$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $68$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 20 \ln (t + 1)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 20 \ln (t + 1)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 20 \ln (t + 1)$ par rapport à $t$ est $- 20 \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$0 - 20 \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 1$ .

$0 - 20 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$0 - 20 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 1$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Étape 1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Étape 1.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 20 (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Étape 1.2.7

Multipliez $\frac{1}{t + 1}$ par $1$ .

$0 - 20 \frac{1}{t + 1}$

Étape 1.2.8

Associez $- 20$ et $\frac{1}{t + 1}$ .

$0 + \frac{- 20}{t + 1}$

Étape 1.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{20}{t + 1}$

Étape 1.3

Soustrayez $\frac{20}{t + 1}$ de $0$ .

$- \frac{20}{t + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{20}{t + 1}$ par rapport à $t$ est $- 20 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 1}]$ .

$S'' (t) = - 20 \frac{d}{d t} \frac{1}{t + 1}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1}{t + 1}$ comme ${(t + 1)}^{- 1}$ .

$S'' (t) = - 20 \frac{d}{d t} {(t + 1)}^{- 1}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 1$ .

$S'' (t) = - 20 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d t} (t + 1))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$S'' (t) = - 20 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} (t + 1))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 1$ .

$S'' (t) = - 20 (- {(t + 1)}^{- 2} \frac{d}{d t} (t + 1))$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$S'' (t) = 20 ({(t + 1)}^{- 2} \frac{d}{d t} (t + 1))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (1))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} (1))$

Étape 2.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $20$ par $1$ .

$S'' (t) = 20 {(t + 1)}^{- 2}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$S'' (t) = 20 (\frac{1}{{(t + 1)}^{2}})$

Étape 2.4.2

Associez $20$ et $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$S'' (t) = \frac{20}{{(t + 1)}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{20}{t + 1} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local