Calcul infinitésimal Exemples

$s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = {(t - 1)}^{3}$ et $g (t) = 3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 1.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 1.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t - 1$ .

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Étape 1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Étape 1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Étape 1.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Étape 1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Étape 1.5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Étape 1.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Étape 1.5.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.3

Associez des termes.

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Étape 1.6.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.3.2

Associez $\frac{3}{12}$ et ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.3.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 1.6.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Étape 1.6.3.6

Associez ${(t - 1)}^{2}$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Étape 1.6.3.7

Pour écrire $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Étape 1.6.3.8

Associez $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Étape 1.6.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Étape 1.6.3.10

Associez $4$ et $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Étape 1.6.3.11

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 1.6.3.11.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Étape 1.6.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.3.11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Étape 1.6.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Étape 1.6.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Étape 1.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.5.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.6.5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.6.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 1.6.5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.5.6.1

Réécrivez ${(t - 1)}^{2}$ comme $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.2

Développez $(t - 1) (t - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.5.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.5.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.5.6.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.3.1.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.3.1.4

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.3.2

Soustrayez $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.5

Simplifiez

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Étape 1.6.5.6.5.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.5.6.5.1.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.5.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 1.6.5.6.5.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.5.6.6.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.5.6.6.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.6.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.6.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.5.6.7

Réécrivez ${(t - 1)}^{2}$ comme $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Étape 1.6.5.6.8

Développez $(t - 1) (t - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.5.6.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Étape 1.6.5.6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Étape 1.6.5.6.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 1.6.5.6.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.5.6.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.5.6.9.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 1.6.5.6.9.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 1.6.5.6.9.1.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 1.6.5.6.9.1.4

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 1.6.5.6.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Étape 1.6.5.6.9.2

Soustrayez $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Étape 1.6.5.7

Additionnez $- 6 t^{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Étape 1.6.5.8

Soustrayez $2 t$ de $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Étape 1.6.5.9

Additionnez $t^{3}$ et $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Étape 1.6.5.10

Soustrayez $5 t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Étape 1.6.5.11

Additionnez $3 t$ et $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Étape 1.6.5.12

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Étape 1.6.5.13

Additionnez $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ et $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Étape 1.6.5.14

Réécrivez $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ en forme factorisée.

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Étape 1.6.5.14.1

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

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Étape 1.6.5.14.1.1

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Étape 1.6.5.14.1.2

Factorisez $4 t$ à partir de $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Étape 1.6.5.14.1.3

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Étape 1.6.5.14.1.4

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Étape 1.6.5.14.1.5

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Étape 1.6.5.14.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.6.5.14.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Étape 1.6.5.14.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Étape 1.6.5.14.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Étape 1.6.5.14.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = t$ et $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 1.6.6.2

Divisez $t {(t - 1)}^{2}$ par $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Étape 1.6.7

Réécrivez ${(t - 1)}^{2}$ comme $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Étape 1.6.8

Développez $(t - 1) (t - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Étape 1.6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Étape 1.6.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.6.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.9.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.6.9.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.6.9.1.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.6.9.1.4

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.6.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Étape 1.6.9.2

Soustrayez $t$ de $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Étape 1.6.10

Appliquez la propriété distributive.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Étape 1.6.11

Simplifiez

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Étape 1.6.11.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.11.1.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 1.6.11.1.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Étape 1.6.11.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Étape 1.6.11.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Étape 1.6.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Étape 1.6.11.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Étape 1.6.12

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.12.1

Déplacez $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Étape 1.6.12.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} - 2 t^{2} + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (t)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (t)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} (t)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Étape 4.1.2

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 4.1.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 4.1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 4.1.3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t - 1$ .

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Étape 4.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Étape 4.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Étape 4.1.5

Différenciez.

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Étape 4.1.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Étape 4.1.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Étape 4.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Étape 4.1.5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Étape 4.1.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Étape 4.1.5.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.3.2

Associez $\frac{3}{12}$ et ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.3.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 4.1.6.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.6.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Étape 4.1.6.3.6

Associez ${(t - 1)}^{2}$ et $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Étape 4.1.6.3.7

Pour écrire $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.1.6.3.8

Associez $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Étape 4.1.6.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Étape 4.1.6.3.10

Associez $4$ et $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Étape 4.1.6.3.11

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 4.1.6.3.11.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Étape 4.1.6.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.6.3.11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Étape 4.1.6.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Étape 4.1.6.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Étape 4.1.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.5.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.6.5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.6.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Étape 4.1.6.5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.5.6.1

Réécrivez ${(t - 1)}^{2}$ comme $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.2

Développez $(t - 1) (t - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.6.5.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.3.1.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.3.1.4

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.3.2

Soustrayez $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.5.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.5.1.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.5.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.5.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.6.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.6.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.6.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.6.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.7

Réécrivez ${(t - 1)}^{2}$ comme $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.8

Développez $(t - 1) (t - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.6.9.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.9.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.9.1.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.9.1.4

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.6.9.2

Soustrayez $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.7

Additionnez $- 6 t^{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.8

Soustrayez $2 t$ de $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.9

Additionnez $t^{3}$ et $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.10

Soustrayez $5 t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.11

Additionnez $3 t$ et $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Étape 4.1.6.5.12

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Étape 4.1.6.5.13

Additionnez $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ et $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Étape 4.1.6.5.14

Réécrivez $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.14.1

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.14.1.1

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Étape 4.1.6.5.14.1.2

Factorisez $4 t$ à partir de $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Étape 4.1.6.5.14.1.3

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Étape 4.1.6.5.14.1.4

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Étape 4.1.6.5.14.1.5

Factorisez $4 t$ à partir de $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Étape 4.1.6.5.14.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.5.14.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Étape 4.1.6.5.14.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Étape 4.1.6.5.14.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Étape 4.1.6.5.14.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = t$ et $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Étape 4.1.6.6.2

Divisez $t {(t - 1)}^{2}$ par $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Étape 4.1.6.7

Réécrivez ${(t - 1)}^{2}$ comme $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Étape 4.1.6.8

Développez $(t - 1) (t - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Étape 4.1.6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Étape 4.1.6.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Étape 4.1.6.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.9.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Étape 4.1.6.9.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Étape 4.1.6.9.1.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Étape 4.1.6.9.1.4

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Étape 4.1.6.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Étape 4.1.6.9.2

Soustrayez $t$ de $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Étape 4.1.6.10

Appliquez la propriété distributive.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Étape 4.1.6.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.11.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.11.1.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.11.1.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Étape 4.1.6.11.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Étape 4.1.6.11.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Étape 4.1.6.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Étape 4.1.6.11.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Étape 4.1.6.12

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.12.1

Déplacez $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Étape 4.1.6.12.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$f' (t) = t^{3} - 2 t^{2} + t$

Étape 4.2

La dérivée première de $s (t)$ par rapport à $t$ est $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} - 2 t^{2} + t = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $t$ à partir de $- 2 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Étape 5.2.1.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t^{2} + t (- 2 t)$ .

$t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $t$ à partir de $t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = t$ et $b = 1$ .

$t {(t - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

${(t - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 5.5

Définissez ${(t - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 5.5.1

Définissez ${(t - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(t - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez ${(t - 1)}^{2} = 0$ pour $t$ .

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Étape 5.5.2.1

Définissez le $t - 1$ égal à $0$ .

$t - 1 = 0$

Étape 5.5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t {(t - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$t = 0, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = 0, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Étape 9.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 1$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 + 0 + 1$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 1$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 10

$t = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $t = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $t$ par $0$ dans l’expression.

$s (0) = \frac{{((0) - 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (0 + 1)}{12}$

Étape 11.2.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 1}{12}$

Étape 11.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$s (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{12}$

Étape 11.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$s (0) = \frac{- 1}{12}$

Étape 11.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$s (0) = - \frac{1}{12}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 1$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 1$

Étape 13.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 1$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$3 - 4 + 1$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- 1 + 1$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $t$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $t^{3} - 2 t^{2} + t$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $t$ par $- 2$ dans l’expression.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Étape 14.2.2.2.2

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.2.2.2.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ .

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Étape 14.2.2.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$s' (- 2) = - 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} - 2$

Étape 14.2.2.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{1 + 2} - 2$

Étape 14.2.2.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{3} - 2$

Étape 14.2.2.2.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 8 - 2$

Étape 14.2.2.3

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 14.2.2.3.1

Soustrayez $8$ de $- 8$ .

$s' (- 2) = - 16 - 2$

Étape 14.2.2.3.2

Soustrayez $2$ de $- 16$ .

$s' (- 2) = - 18$

Étape 14.2.2.4

La réponse finale est $- 18$ .

$- 18$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $0.5$ , de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée première $t^{3} - 2 t^{2} + t$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $t$ par $0.5$ dans l’expression.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.2.2.1

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Étape 14.3.2.2.2

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 \cdot 0.25 + 0.5$

Étape 14.3.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $0.25$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 0.5 + 0.5$

Étape 14.3.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.3.2.3.1

Soustrayez $0.5$ de $0.125$ .

$s' (0.5) = - 0.375 + 0.5$

Étape 14.3.2.3.2

Additionnez $- 0.375$ et $0.5$ .

$s' (0.5) = 0.125$

Étape 14.3.2.4

La réponse finale est $0.125$ .

$0.125$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $t^{3} - 2 t^{2} + t$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $t$ par $4$ dans l’expression.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$s' (4) = 64 - 2 {(4)}^{2} + 4$

Étape 14.4.2.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$s' (4) = 64 - 2 \cdot 16 + 4$

Étape 14.4.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$s' (4) = 64 - 32 + 4$

Étape 14.4.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.4.2.3.1

Soustrayez $32$ de $64$ .

$s' (4) = 32 + 4$

Étape 14.4.2.3.2

Additionnez $32$ et $4$ .

$s' (4) = 36$

Étape 14.4.2.4

La réponse finale est $36$ .

$36$

Étape 14.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $t = 0$ , $t = 0$ est un minimum local.

$t = 0$ est un minimum local

Étape 14.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $t = 1$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.7

Ce sont les extrema locaux pour $s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ .

$t = 0$ est un minimum local

Étape 15