Calcul infinitésimal Exemples

$R (x) = 4000 {(1 - \frac{x}{300})}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 - \frac{x}{300})}^{2}$ comme $(1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300})$ .

$\frac{d}{d x} [4000 ((1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300}))]$

Étape 1.2

Développez $(1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 (1 - \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} (1 - \frac{x}{300}))]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} (1 - \frac{x}{300}))]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- \frac{x}{300}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- \frac{x}{300} (- \frac{x}{300})$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + 1 \frac{x}{300} \frac{x}{300})]$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $\frac{x}{300}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x}{300} \cdot \frac{x}{300})]$

Étape 1.3.1.4.3

Multipliez $\frac{x}{300}$ par $\frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x \cdot x}{300 \cdot 300})]$

Étape 1.3.1.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1} x}{300 \cdot 300})]$

Étape 1.3.1.4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1} x^{1}}{300 \cdot 300})]$

Étape 1.3.1.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1 + 1}}{300 \cdot 300})]$

Étape 1.3.1.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{300 \cdot 300})]$

Étape 1.3.1.4.8

Multipliez $300$ par $300$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $\frac{x}{300}$ de $- \frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 2 \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 (- 1) \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 1.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $300$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 1.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 1.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 1 \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 1.4.2

Réécrivez $- 1 \frac{x}{150}$ comme $- \frac{x}{150}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 1.5

Comme $4000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4000 (1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})$ par rapport à $x$ est $4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000}]$ .

$4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000}]$

Étape 1.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 1.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4000 (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 1.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 1.9

Comme $- \frac{1}{150}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{150}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{150} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4000 (- \frac{1}{150} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4000 (- \frac{1}{150} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 1.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 1.12

Comme $\frac{1}{90000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{90000}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{90000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{1}{90000} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{1}{90000} (2 x))$

Étape 1.14

Simplifiez les termes.

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Étape 1.14.1

Associez $2$ et $\frac{1}{90000}$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2}{90000} x)$

Étape 1.14.2

Associez $\frac{2}{90000}$ et $x$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{90000})$

Étape 1.14.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $90000$ .

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Étape 1.14.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 (x)}{90000})$

Étape 1.14.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.14.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $90000$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{2 \cdot 45000})$

Étape 1.14.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{2 \cdot 45000})$

Étape 1.14.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{x}{45000})$

Étape 1.15

Simplifiez

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Étape 1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$4000 (- \frac{1}{150}) + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 1.15.2

Associez des termes.

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Étape 1.15.2.1

Multipliez $- 1$ par $4000$ .

$- 4000 (\frac{1}{150}) + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 1.15.2.2

Associez $- 4000$ et $\frac{1}{150}$ .

$\frac{- 4000}{150} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 1.15.2.3

Annulez le facteur commun à $- 4000$ et $150$ .

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Étape 1.15.2.3.1

Factorisez $50$ à partir de $- 4000$ .

$\frac{50 (- 80)}{150} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 1.15.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.15.2.3.2.1

Factorisez $50$ à partir de $150$ .

$\frac{50 \cdot - 80}{50 \cdot 3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 1.15.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 \cdot - 80}{50 \cdot 3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 1.15.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 80}{3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 1.15.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{80}{3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 1.15.2.5

Associez $4000$ et $\frac{x}{45000}$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{4000 x}{45000}$

Étape 1.15.2.6

Annulez le facteur commun à $4000$ et $45000$ .

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Étape 1.15.2.6.1

Factorisez $1000$ à partir de $4000 x$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{45000}$

Étape 1.15.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.15.2.6.2.1

Factorisez $1000$ à partir de $45000$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{1000 (45)}$

Étape 1.15.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{1000 \cdot 45}$

Étape 1.15.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{80}{3} + \frac{4 x}{45}$

Étape 1.15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{45}] + \frac{d}{d x} [- \frac{80}{3}]$ .

$R'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{45}) + \frac{d}{d x} (- \frac{80}{3})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{45}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{4}{45}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{45}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{45} \frac{d}{d x} [x]$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{80}{3})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{80}{3})$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{4}{45}$ par $1$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45} + \frac{d}{d x} (- \frac{80}{3})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{80}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{80}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $\frac{4}{45}$ et $0$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(1 - \frac{x}{300})}^{2}$ comme $(1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300})$ .

$\frac{d}{d x} [4000 ((1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300}))]$

Étape 4.1.2

Développez $(1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 (1 - \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} (1 - \frac{x}{300}))]$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} (1 - \frac{x}{300}))]$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Étape 4.1.3.1.2

Multipliez $- \frac{x}{300}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Étape 4.1.3.1.4

Multipliez $- \frac{x}{300} (- \frac{x}{300})$ .

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Étape 4.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + 1 \frac{x}{300} \frac{x}{300})]$

Étape 4.1.3.1.4.2

Multipliez $\frac{x}{300}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x}{300} \cdot \frac{x}{300})]$

Étape 4.1.3.1.4.3

Multipliez $\frac{x}{300}$ par $\frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x \cdot x}{300 \cdot 300})]$

Étape 4.1.3.1.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1} x}{300 \cdot 300})]$

Étape 4.1.3.1.4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1} x^{1}}{300 \cdot 300})]$

Étape 4.1.3.1.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1 + 1}}{300 \cdot 300})]$

Étape 4.1.3.1.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{300 \cdot 300})]$

Étape 4.1.3.1.4.8

Multipliez $300$ par $300$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 4.1.3.2

Soustrayez $\frac{x}{300}$ de $- \frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 2 \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 4.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 (- 1) \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 4.1.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $300$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 4.1.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 4.1.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 1 \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $- 1 \frac{x}{150}$ comme $- \frac{x}{150}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Étape 4.1.5

Comme $4000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4000 (1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})$ par rapport à $x$ est $4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000}]$ .

$4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000}]$

Étape 4.1.6

$4000 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 4.1.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4000 (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 4.1.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 4.1.9

Comme $- \frac{1}{150}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{150}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{150} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4000 (- \frac{1}{150} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 4.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4000 (- \frac{1}{150} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 4.1.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Étape 4.1.12

Comme $\frac{1}{90000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{90000}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{90000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{1}{90000} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{1}{90000} (2 x))$

Étape 4.1.14

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.14.1

Associez $2$ et $\frac{1}{90000}$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2}{90000} x)$

Étape 4.1.14.2

Associez $\frac{2}{90000}$ et $x$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{90000})$

Étape 4.1.14.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $90000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.14.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 (x)}{90000})$

Étape 4.1.14.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.14.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $90000$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{2 \cdot 45000})$

Étape 4.1.14.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{2 \cdot 45000})$

Étape 4.1.14.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{x}{45000})$

Étape 4.1.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$4000 (- \frac{1}{150}) + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 4.1.15.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.15.2.1

Multipliez $- 1$ par $4000$ .

$- 4000 (\frac{1}{150}) + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 4.1.15.2.2

Associez $- 4000$ et $\frac{1}{150}$ .

$\frac{- 4000}{150} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 4.1.15.2.3

Annulez le facteur commun à $- 4000$ et $150$ .

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Étape 4.1.15.2.3.1

Factorisez $50$ à partir de $- 4000$ .

$\frac{50 (- 80)}{150} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 4.1.15.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.2.3.2.1

Factorisez $50$ à partir de $150$ .

$\frac{50 \cdot - 80}{50 \cdot 3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 4.1.15.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 \cdot - 80}{50 \cdot 3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 4.1.15.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 80}{3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 4.1.15.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{80}{3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Étape 4.1.15.2.5

Associez $4000$ et $\frac{x}{45000}$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{4000 x}{45000}$

Étape 4.1.15.2.6

Annulez le facteur commun à $4000$ et $45000$ .

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Étape 4.1.15.2.6.1

Factorisez $1000$ à partir de $4000 x$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{45000}$

Étape 4.1.15.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.15.2.6.2.1

Factorisez $1000$ à partir de $45000$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{1000 (45)}$

Étape 4.1.15.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{1000 \cdot 45}$

Étape 4.1.15.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{80}{3} + \frac{4 x}{45}$

Étape 4.1.15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $R (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$ .

$\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3} = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $\frac{80}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{4 x}{45} = \frac{80}{3}$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{4} \cdot \frac{4 x}{45} = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Étape 5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez $\frac{45}{4} \cdot \frac{4 x}{45}$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $45$ .

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Étape 5.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{45}{4} \cdot \frac{4 x}{45} = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Étape 5.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Étape 5.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Étape 5.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Étape 5.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $\frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$x = \frac{3 (15)}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Étape 5.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 15}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Étape 5.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{15}{4} \cdot 80$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$x = \frac{15}{4} \cdot (4 (20))$

Étape 5.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{15}{4} \cdot (4 \cdot 20)$

Étape 5.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = 15 \cdot 20$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $15$ par $20$ .

$x = 300$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 300$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 300$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4}{45}$

Étape 9

$x = 300$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 300$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = 300$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $300$ dans l’expression.

$R (300) = 4000 {(1 - \frac{300}{300})}^{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun de $300$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$R (300) = 4000 {(1 - \frac{300}{300})}^{2}$

Étape 10.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$R (300) = 4000 {(1 - 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$R (300) = 4000 {(1 - 1)}^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$R (300) = 4000 \cdot 0^{2}$

Étape 10.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$R (300) = 4000 \cdot 0$

Étape 10.2.2.3

Multipliez $4000$ par $0$ .

$R (300) = 0$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $R (x) = 4000 {(1 - \frac{x}{300})}^{2}$ .

$(300, 0)$ est un minimum local

Étape 12