Calcul infinitésimal Exemples

$p (x) = x^{2} (a - x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = a - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.6.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- x^{2} + (a - x) (2 x)$

Étape 1.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $a - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (a - x) x$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + (2 a + 2 (- x)) x$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 2 a x + 2 (- x) x$

Étape 1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x \cdot x$

Étape 1.3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x)$

Étape 1.3.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x^{1})$

Étape 1.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{1 + 1}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{2}$

Étape 1.3.3.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 2 a x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$p'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$p'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$p'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 a x$ par rapport à $x$ est $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$p'' (x) = 2 a - 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 2 a x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = a - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.6.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- x^{2} + (a - x) (2 x)$

Étape 4.1.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $a - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (a - x) x$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + (2 a + 2 (- x)) x$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 2 a x + 2 (- x) x$

Étape 4.1.3.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x \cdot x$

Étape 4.1.3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x)$

Étape 4.1.3.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x^{1})$

Étape 4.1.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{1 + 1}$

Étape 4.1.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{2}$

Étape 4.1.3.3.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 a x$

Étape 4.2

La dérivée première de $p (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 2 a x$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 2 a x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2} + 2 a x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$x (- 3 x) + 2 a x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 a x$ .

$x (- 3 x) + x (2 a) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x) + x (2 a)$ .

$x (- 3 x + 2 a) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$- 3 x + 2 a = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $- 3 x + 2 a$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $- 3 x + 2 a$ égal à $0$ .

$- 3 x + 2 a = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $- 3 x + 2 a = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $2 a$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = - 2 a$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 2 a$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 2 a$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{2 a}{3}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (- 3 x + 2 a) = 0$ vraie.

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 a - 6 \cdot 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$2 a + 0$

Étape 9.2

Additionnez $2 a$ et $0$ .

$2 a$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11