Calcul infinitésimal Exemples

$k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) - \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \sin (x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + 1 \sin (x)$

Étape 2.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 \sin (x) - \cos (x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Séparez les fractions.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 11

Divisez $0$ par $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Étape 12

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0$

Étape 13

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \tan (x) = 1$

Étape 14

Divisez chaque terme dans $- 2 \tan (x) = 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \tan (x) = 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 14.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 14.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 2}$

Étape 14.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 15

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Étape 16

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Évaluez $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

Étape 17

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Étape 18

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 18.2

L’angle résultant de $2.67794504$ est positif et coterminal avec $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = 2.67794504$

Étape 19

La solution de l’équation est $x = - 0.4636476$ .

$x = - 0.4636476, 2.67794504$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 0.4636476$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos (- 0.4636476) + \sin (- 0.4636476)$

Étape 21

$x = - 0.4636476$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 0.4636476$ est un maximum local

Étape 22

Déterminez la valeur y quand $x = - 0.4636476$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.4636476$ dans l’expression.

$k (- 0.4636476) = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Étape 22.2

La réponse finale est $2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$ .

$y = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Étape 23

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2.67794504$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos (2.67794504) + \sin (2.67794504)$

Étape 24

$x = 2.67794504$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2.67794504$ est un minimum local

Étape 25

Déterminez la valeur y quand $x = 2.67794504$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1

Remplacez la variable $x$ par $2.67794504$ dans l’expression.

$k (2.67794504) = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Étape 25.2

La réponse finale est $2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$ .

$y = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Étape 26

Ce sont les extrema locaux pour $k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- 0.4636476, 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476))$ est un maximum local

$(2.67794504, 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504))$ est un minimum local

Étape 27